بخش بیست و دوم: فضای مماس (Tangent Space) به مثابه عملگر
دکتر عالم‌زاده در برگه‌های اخیر، با دقتی ستودنی نشان می‌دهند که برای تعریفِ بردار در یک نقطه از منیفلدِ خمیده، نیازی نیست حتماً بدانیم منیفلد در چه فضایِ بزرگ‌تری غوطه‌ور است. کافی است بدانیم بردار چگونه روی «توابع» اثر می‌گذارد.
۱. بردار به عنوان مشتق‌گیر (Derivation)
یک بردار مماس در نقطه p، نگاشتی است چون Xp که به هر تابعِ هموارِ f، عددی واقعی نسبت می‌دهد. این نگاشت باید دو شرطِ حیاتی را داشته باشد:
- خطی بودن: Xp(af + bg) = aXp(f) + bXp(g)
- قاعده لایب‌نیتس: Xp(fg) = f(p)Xp(g) + g(p)Xp(f)
چرا این نگاه انقلابی است؟
این تعریف، ما را از قیدِ «تصویرسازیِ ذهنی» رها می‌کند. وقتی می‌گوییم فضای مماس TpM، در واقع از مجموعه‌ی تمامِ این عملگرهای خطی صحبت می‌کنیم که تابعِ f را در نقطه p تغییر می‌دهند.
نتیجه‌گیری در یادداشت‌های استاد:
استاد با پیوند دادنِ این عملگرها به پایه های مختصاتی {∂/∂xi}، نشان می‌دهند که هر بردار مماس، ترکیبی خطی از مشتقاتِ جزئی در آن نقطه است:
Xp = ∑ vi (∂/∂xi)p
درسنامه هندسه منیفلد دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده | فضای مماس و ماهیتِ عملگریِ بردارها
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.