بخش بیستم: مشتقِ تابع روی منیفلد (Coordinate Representation)
برای تعریفِ مشتقِ تابع f: M → \mathbb{R} در نقطه p، ما از کارت (Chart) استفاده میکنیم. فرض کنید x: U → \mathbb{R}^n یک کارت حولِ p باشد. ما تابع را به فضایِ اقلیدسی منتقل میکنیم:
F = f ˆ x-1
در واقع F، همان بیانِ محلیِ تابعِ ما در مختصات است. حال مشتقِ f، همان مشتقِ F در نقطه x(p) است که به سادگی با ماتریسِ ژاکوبی محاسبه میشود.
ماتریسِ ژاکوبی به عنوانِ ابزارِ جهانی
تصاویرِ برگهها تأکید دارند که این فرآیند وابسته به مختصات است، اما به گونهای طراحی شده که ناسازگاری ایجاد نکند. با تغییرِ کارت، ماتریس ژاکوبی از طریقِ قاعدهی زنجیرهای (Chain Rule) بهصورتِ همواری تبدیل میشود.
Jcf = [ ∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn ]
نتیجهگیری:
هرگاه بخواهید تغییراتِ یک میدانِ اسکالر (تابع) را روی منیفلد بسنجید، کافی است آن را در دستگاهِ مختصاتِ محلی پیاده کنید و ماتریسِ مشتقاتِ جزئیِ آن را در نقطه مورد نظر بنویسید. این همان پلی است که هندسه دیفرانسیل را به حسابِ دیفرانسیلِ چندمتغیره وصل میکند.
درسنامه هندسه منیفلد دکتر علیاکبر عالمزاده | نگاشتهای محلی و نمایشِ مشتق در مختصات
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.