بخش نوزدهم: میدان‌های برداری و براکت لی (Lie Bracket)
اگر یک بردار مماس را به عنوان یک «موجودیتِ نقطه‌ای» در نظر بگیریم، یک میدان برداری (Vector Field) مجموعه‌ای از این بردارهاست که در تمامِ نقاطِ منیفلد پراکنده شده‌اند. هر میدان برداری X، در واقع یک Derivation روی فضای توابعِ روی منیفلد است.
۱. براکت لی: اندازه‌گیری عدمِ جابجایی
در فضاهای تخت (مانند صفحه اقلیدسی)، اگر در دو جهت مختلف حرکت کنید، ترتیبِ حرکت تأثیری در مقصد نهایی ندارد. اما در یک منیفلدِ خمیده، این جابجایی (Commutativity) از بین می‌رود. برای سنجشِ این تفاوت، از براکت لی ([X, Y]) استفاده می‌کنیم:
[X, Y] = X ˆ Y - Y ˆ X
این عملگر، یک میدان برداری جدید تولید می‌کند که نشان می‌دهد چقدرِ دو حرکت X و Y با هم «ناهم‌ساز» یا «ناهم‌جاشا» هستند.
چرا این موضوع حیاتی است؟
- هندسه و جبر: براکت لی پلِ میانِ هندسه (حرکت در فضا) و جبر (ساختار عملگرها) است.
- خمیدگی: عدمِ جابجاییِ میدان‌های برداری، نشانه و ریشه اصلیِ مفهوم «خمیدگی» (Curvature) در منیفلدهاست.
- جبر لی: مجموعه‌ی تمامِ میدان‌های برداری تحت عملِ براکت لی، یک Lie Algebra را تشکیل می‌دهند.
درسنامه هندسه منیفلد دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده | میدان‌های برداری و ساختارِ جبرِ لی
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.