بخش چهاردهم: قاعده زنجیرهای (Chain Rule) و ترکیب نگاشتهای مشتقپذیر
در حساب دیفرانسیل روی چندلاها (Manifolds)، پرسش بنیادین این است: مشتقِ ترکیبِ دو نگاشت چگونه محاسبه میشود؟ پاسخ در «قاعده زنجیرهای» نهفته است. اگر f نگاشتی از ℜn به ℜm و g نگاشتی از ℜm به ℜk باشد، مشتقِ نگاشتِ مرکب g ˆ f در نقطه c برابر است با:
D(g ˆ f)(c) = Dg(f(c)) ˆ Df(c)
نکته کلیدی: در زبانِ ماتریسها، این عملگرها به ماتریسهای ژاکوبی تبدیل میشوند. اگر Jf ماتریس ژاکوبی f و Jg ماتریس ژاکوبی g باشد، آنگاه ماتریس ژاکوبی نگاشت مرکب، حاصلضرب ماتریسی آنهاست:
J(g ˆ f)(c) = Jg(f(c)) × Jf(c)
تحلیلِ مماس (Tangent Interpretation)
به بیان هندسی، دیفرانسیلِ Df(c) یک نگاشتِ خطی بین فضاهای مماس است:
Tcℜn → Tf(c)ℜm
ترکیبِ این نگاشتها، عبور از فضای مماس اول به فضای مماس سوم را میسر میسازد، و این جوهرهیِ کارکردِ Differential Geometry در محاسباتِ سراسری است.
استخراج از دستنوشتههای دکتر علیاکبر عالمزاده / فصلِ حساب دیفرانسیل روی چندلاها
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.