ریاضیات

بخش دوازدهم: دستاوردهای بنیادین افراز واحد؛ از ساخت متریک ریمانی تا انتگرال‌گیری

پس از اثبات قضیهٔ وجود افراز واحد بر روی چندلاهای پارافشرده، استاد علی‌اکبر عالم‌زاده به زیباترین جلوهٔ این نظریه می‌پردازند: چگونه می‌توان ساختارهای هندسی موضعی را به موجودیت‌های هندسی سراسری و یکپارچه تبدیل کرد؟ این درسنامه به سه قضیهٔ محوری حاصل از این تکنیک اختصاص دارد.

برهان قضیه ۱:

1. 
   فرض کنیم {(U_α, x_α)} اطلسی از کارت‌های موضعی برای چندلای M باشد.
   


2. 
   بر روی هر تکهٔ باز U_α، با استفاده از مختصات موضعی (x_α¹, ..., x_αⁿ)، متریک اقلیدسی استاندارد موضعی g_α را تعریف می‌کنیم:
   
   
   g_α = ∑_i=1ⁿ dx_αⁱ ⊗ dx_αⁱ
   
   
   این متریک روی U_α متقارن و اکیداً مثبت معین است.
   


3. 
   حال افراز واحد هموار {φ_α} تابع پوشش {U_α} را در نظر می‌گیریم و تانسور متریک سراسری g را به شکل زیر می‌سازیم:
   
   
   g = ∑_α φ_α g_α
   
   
   


4. 
   اثبات مثبت‌معین بودن: برای هر بردار مماس ناصفر X ∈ T_pM، داریم:
   
   
   g(X, X) = ∑_α φ_α(p) ⋅ g_α(X, X)
   
   
   از آنجا که φ_α(p) ≥ 0 و حداقل برای یک اندیس مانند α₀ مقدار φ_α0(p) > 0 است و g_α0(X, X) > 0، بنابراین همواره g(X, X) > 0 خواهد بود. پس g اکیداً مثبت‌معین و در همه‌جا هموار است.