ریاضیات

فرض کنیم M یک چندلای هاوسدورف و m ∈ M نقطه‌ای دلخواه باشد. اگر g: U → ℜ تابعی مشتق‌پذیر (C^∞) بر روی همسایگی باز U از m باشد، آنگاه تابع مشتق‌پذیر سراسری G: M → ℜ چنان وجود دارد که در یک همسایگی باز V ⊂ U از نقطه m، دقیقاً داشته باشیم:

کارت مختصاتی (x, U) را حول نقطه m در نظر می‌گیریم به طوری که بدون کاستن از کلیت مسئله، مبدأ مختصات بر نقطه m منطبق باشد (x(m) = 0 ∈ ℜⁿ).

چون تصویر کارت x(U) در ℜⁿ باز است و مبدأ را شامل می‌شود، می‌توان دو گوی باز هم‌مرکز به شعاع‌های r < R با نمادهای B و B₁ یافت به‌طوری‌که:

با تعریف همسایگی‌های باز V = x^-1(B) و V₁ = x^-1(B₁) روی منیفلد M، زنجیرهٔ تودرتوی زیر حاصل می‌شود:

تابع کلاهی هموار F: ℜⁿ → ℜ را چنان برمی‌گزینیم که:

مجموعه‌های باز U و M ∖ V̅₁ کل منیفلد M را می‌پوشانند. ضابطهٔ سراسری G را چنین تعریف می‌کنیم:

بر روی اشتراک این دو باز یعنی U ∖ V̅₁، ضابطهٔ بالایی چون x(p) ∉ B₁ است، مقدار صفر می‌دهد و با ضابطهٔ پایینی کاملاً هم‌پوشانی و انطباق دارد. بنابراین G یک تابع هموار روی کل M است و بر روی V داریم:
G(p) = 1 ⋅ g(p) = g(p).