تمدید هموار توابع موضعی و رابطه بنیادین پارافشردگی با افراز واحد
در یادداشتهای پیشین، زیربنای افراز واحد و ساخت توابع بریدگی (Bump Functions) تدوین گردید. در این دستنوشتهها، استاد به بررسی رفتار توابع بر روی زیرمنیفلدها، بسط آنها به فضای سراسری و بیان قضیهٔ سرنوشتساز «پارافشردگی» میپردازند.
قضیه: تمدید سراسری یک جوانه/تابع موضعی (Local Extension Theorem)
فرض کنیم M یک چندلای هاوسدورف، m ∈ M یک نقطه دلخواه و g تابعی هموار تعریفشده در همسایگی باز U از m باشد. آنگاه یک تابع مشتقپذیرِ سراسری f: M → ℜ وجود دارد بهطوریکه:
- در همسایگی کوچکتری از نقطهٔ m (مانند همسایگی V)، تابع سراسری دقیقاً بر تابع موضعی منطبق است: f|V = g|V.
- در بیرون از همسایگی اولیه صفر است: f|M ∖ U = 0.
برهان ساختاری با استفاده از کارت مختصاتی و گویهای باز
فرض کنید کارت مختصاتی (x, U) شامل نقطهٔ m باشد که در آن x(m) = 0 (یا نقطه مرکزی). چون تصویر کارت در فضای اقلیدسی ℜn باز است، دو گوی باز هممرکز B و B1 با شعاعهای متفاوت وجود دارند بهگونهای که:
B ⊂ B̅ ⊂ B1 ⊂ B̅1 ⊂ x(U)
اکنون همسایگیهای متناظر در منیفلد را با تصویر معکوس تعریف میکنیم: V = x−1(B) و V1 = x−1(B1).
بنا بر لم توابع بریدگی اقلیدسی، تابع هموار F: ℜn → ℜ چنان یافت میشود که:
F(y) = 1 ∀ y ∈ B̅ , F(y) = 0 ∀ y ∈ ℜn ∖ B1
حال تابع سراسری مورد نظر f: M → ℜ را چنین تعریف مینماییم:
f(p) =
&begin;cases;
(F ∁ x)(p) ⋅ g(p) & p ∈ U \\
0 & p ∈ M ∖ V̅1
&end;cases;
روی اشتراک باز U ∖ V̅1 هر دو ضابطه مقدار صفر میدهند، لذا طبق «لم چسباندن (Pasting Lemma)»، تابع f روی کل منیفلد M هموار و خوشتعریف است.
قضیه اساسی: همارزی پارافشردگی و وجود افراز واحد
صورت قضیه: شرط لازم و کافی برای آنکه یک چندلای هاوسدورف M دارای افراز واحد تابعِ هر پوشش باز دلخواهی باشد، آن است که M پارافشرده (Paracompact) باشد.
یادآوری توپولوژیک: یک فضای توپولوژیک را پارافشرده نامند هرگاه هر پوشش باز آن، دارای یک «پوشش باز تصفیهشدهٔ موضعاً متناهی (Locally Finite Refinement)» باشد. از آنجا که هر منیفلد متصل با پایهٔ شماراپذیر دوم خودبهخود پارافشرده است، این گزاره ضامنِ وجود همیشگی افراز واحد در تمامی منیفلدهای استاندارد فیزیک و هندسه است.
افراز واحدِ مقید به یک زیرپوشش (Subordinate Partition)
چنانچه در دستنوشتهها ترسیم شده، اگر C یک زیرمجموعه بسته و U یک همسایگی بازِ دربرگیرندهٔ آن باشد (C ⊂ U):
با در نظر گرفتن پوشش باز {U, M ∖ C} و افراز واحد تابع این پوشش مانند {φα}، میتوان تابعی مانند:
f = ∑α ∈ J φα
ساخت که اندیسهای J محدود به آن دستهای هستند که تکیهگاهشان درون U قرار میگیرد. در این حالت:
f|C = 1 &text;و f|M ∖ U = 0
این ساختار شالودهٔ اصلی برای تعریف ضرب داخلی، متریک ریمانی و تعمیم قضیهٔ تیهتزه بر چندلاهای هموار است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.