ریاضیات

بخش هشتم: برهان تحلیلی قضیه تمدید هموار (صفحه ۵۲) و پارافشردگی در چندلاها

در ادامهٔ تدوین دست‌نوشته‌های استاد علی‌اکبر عالم‌زاده، پس از اثبات پایه‌های افراز واحد، دو پرسش حیاتی پاسخ داده می‌شود: نخست اینکه چگونه یک تابع تعریف‌شده بر روی یک زیرمجموعهٔ باز یا بسته را می‌توان بدون از دست دادن مشتق‌پذیری به کل منیفلد تمدید کرد؟ و دوم، شرط بنیادین توپولوژیک برای وجود این ساختار چیست؟

برهان دقیق با به‌کارگیری کارت‌های مختصاتی و گوی‌های تودرتو:

مطابق دست‌نویس استاد، مراحل برهان گام‌به‌گام به شرح زیر است:

1. انتخاب کارت موضعی: فرض کنید (x, U) کارتی بر M باشد که نقطهٔ m را در بر می‌گیرد و فرض می‌کنیم x(m) = 0.

2. تحدید به گوی‌های اقلیدسی: چون x(U) در ℜⁿ باز است، دو گوی باز هم‌مرکز B و B₁ با مرکز مبدا می‌یابیم چنان‌که:

   B ⊂ B̅ ⊂ B₁ ⊂ B̅₁ ⊂ x(U)

3. تصویر معکوس همسایگی‌ها: همسایگی‌های باز V و V₁ را در منیفلد چنین تعریف می‌کنیم:

   V = x⁻¹(B)  ⇒  V̅ = x⁻¹(B̅)  ,   V₁ = x⁻¹(B₁)

   بنابراین داریم: V ⊂ V̅ ⊂ V₁ ⊂ V̅₁ ⊂ U.

4. ساخت تابع جداکننده اقلیدسی: بنا بر لم بریدگی در ℜⁿ، تابع هموار F: ℜⁿ → ℜ وجود دارد به‌گونه‌ای که روی B̅ مقدار ۱ و روی ℜⁿ ∖ B₁ مقدار صفر دارد.

5. تعریف ضابطه نهایی و چسباندن (Pasting): تابع f روی M به صورت زیر چفت می‌شود:

   f(p) =

   &begin;cases;

   (F ∁ x)(p) ⋅ g(p) & p ∈ U \\

   0 & p ∈ M ∖ V̅₁

   &end;cases;

   روی اشتراک باز U ∖ V̅₁، چون x(p) ∉ B₁ است، ضابطه اول صفر بوده و با ضابطه دوم یکدست است؛ پس f تابعی سراسری، هموار و تمدید دلخواه ماست.