صورت نهایی قضیهٔ افراز یک (Partition of Unity) و کاربردهای آن در هندسه ریمانی
پس از طی مراحل ساخت توابع بریدگی و افراز طوقهای منیفلد در دستنوشتههای استاد، اینک به قضیهٔ نهایی و شاهکلید انتقال مفاهیم از موضعی (Local) به سراسری (Global) میرسیم.
قضیهٔ افراز یکِ هموار (Smooth Partition of Unity Theorem):
فرض کنید M یک چندلای هموار C∞ با پایهٔ شماراپذیر و هاوسدورف باشد و {Uα}α ∈ A یک پوشش باز دلخواه برای M باشد. آنگاه خانوادهای شماراپذیر از توابع هموار {φi}i ∈ I روی M وجود دارد بهگونهای که:
- نامنفی بودن: برای هر i ∈ I و هر p ∈ M داریم 0 ≤ φi(p) ≤ 1.
- تکیهگاه مقید به پوشش: برای هر i اندیسی چون α وجود دارد که supp(φi) ⊆ Uα.
- تکیهگاه فشرده و موضعاً متناهی: هر نقطه p ∈ M دارای همسایگی بازی است که فقط با تعداد متناهی از مجموعههای supp(φi) تقاطع دارد.
- مجموع واحد: در تمام نقاط منیفلد داریم:
∑i ∈ I φi(p) = 1 ∀ p ∈ M
۱. اثبات وجود متریک ریمانی روی هر چندلای دلخواه
شاید مهمترین دستاورد قضیهٔ افراز واحد، تضمین وجود ساختار ریمانی روی هر منیفلد هموار است:
روی هر کارت مختصاتی (Ui, x1, …, xn)، متریک اقلیدسی موضعی gi = ∑k dxk ⊗ dxk را تعریف میکنیم. سپس تانسور متری سراسری g را به کمک افراز واحد میسازیم:
g = ∑i φi gi
چون هر gi مثبتِ معین و متقارن است و ضرایب φi ≥ 0 بوده و حداقل یکی از آنها در هر نقطه مثبت است، ترکیب خطی محدب g نیز اکیداً مثبت معین، متقارن و هموار خواهد بود.
۲. تعریف انتگرال فرمهای دیفرانسیلی
برای انتگرالگیری از یک n-فرم دیفرانسیلی ω با تکیهگاه فشرده روی یک چندلای جهتپذیر M، انتگرال سراسری بهصورت مجموع انتگرالهای موضعی تعریف میشود:
∫M ω = ∑i ∫Ui φi ω
به دلیل موضعاً متناهی بودن، این مجموع متناهی بوده و مقدار انتگرال کاملاً مستقل از انتخاب افراز یک و اطلس مختصاتی است.
فرجامِ مبحث:
بدینترتیب، با تکیه بر ۶ برگ از دستنوشتههای استاد عالمزاده، زنجیرهٔ کامل برهان از تابع پایهای نمایی e−1/t آغاز، از طوقههای تودرتوی فشرده عبور کرده و به ساختار سراسری متریکهای ریمانی و نظریه انتگرال استوکس پیوند یافت.
آماده برای گام بعد:
ارسال دستنوشتههای فصل بعدی یا ادامهٔ مبحث «اتصال لوی-چیویتا، ترابرد موازی و ژئودزیکها»
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.