ریاضیات

۱. ساخت لایه‌های تودرتوی فشرده (Exhaustion by Compact Sets):

چون چندلای M دارای پایهٔ شماراپذیر دوم و موضعاً فشرده است، دنباله‌ای از مجموعه‌های فشردهٔ {A_i}_i=1^∞ وجود دارد به‌طوری‌که:

ویژگی بنیادین طوقه‌ها: برای هر دو اندیس i و j با |i − j| ≥ 3، اشتراک مجموعه‌ها تهی است: W_i ∩ W_j = ∅.

K_i ⊆ ∪_j=1^m_i V_{i, j}      (V_{i, j} ⊂ U_{α(i, j)} ∩ W_i)

۴. ساخت توابع افراز و نرمال‌سازی نهایی:

برای هر یک از این مجموعه‌های باز متناهی V_{i, j}، با استفاده از روش تابع کلاهی دست‌نویس قبل، یک تابع هموار ψ_{i, j} ≥ 0 می‌سازیم که تکیه‌گاه آن supp(ψ_{i, j}) ⊆ V_{i, j} باشد.

اکنون تابع مجموع را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

چرا این مجموع خوش‌تعریف و غیرصفر است؟

• در هر نقطه x ∈ M، حداکثر طوقه‌های مجاور (i-1, i, i+1) تلاقی دارند، پس مجموع در هر همسایگی فقط متناهی جمله دارد و S ∈ C^∞(M) است.

• چون خانوادهٔ مجموعه‌ها تمام منیفلد را می‌پوشانند، همواره S(x) > 0 است.

φ_{i, j}(x) = ψ_{i, j}(x) / S(x)   ⇒   ∑_{i, j} φ_{i, j}(x) ≡ 1

ثمرهٔ این قضیه در بخش بعد:

چگونه با این افراز یک، می‌توانیم فرم‌های انتگرال‌پذیر، متریک‌های ریمانی و اپراتورهای دیفرانسیلی جهانی را روی هر منیفلد دلخواه مستقر سازیم.