ریاضیات

مشتق کوواریانت (Covariant Derivative) و اتصال لِوی-چیویتا

در فضای اقلیدسی ℜⁿ، برای مشتق‌گیری از یک بردار در امتداد برداری دیگر، مؤلفه‌های آن را نقطه به نقطه تفریق می‌کنیم؛ زیرا بردارهای نقاط گوناگون در یک فضای برداریِ واحد قرار دارند. اما بر روی یک منیفلدِ خمیده، فضاهای مماس T_pM و T_qM دو فضای مجزا هستند و نمی‌توان برداری از یکی را مستقیماً از دیگری کم کرد.

برای حل این معضل بنیادین، نیاز به ساختاری به نام اتصال آفین (Affine Connection) یا مشتق کوواریانت (∇) داریم که چگونگی انتقال موازی بردارها را در امتداد منحنی‌ها مشخص می‌سازد.

۱. تعریف اصل‌موضوعی اتصال خطی (Linear Connection)

نگاشت ∇: Χ(M) × Χ(M) → Χ(M) که زوج میدان‌های برداری (X, Y) را به میدان ∇_XY می‌نگارد، یک اتصال نامیده می‌شود اگر در شرایط زیر صدق کند (با استناد به یادداشت‌های استاد دکتر عالم‌زاده):

• خطی بودن نسبت به توابع در مؤلفه نخست:

  ∇_{(f1 X1 + f2 X2)} Y = f₁ ∇_X1 Y + f₂ ∇_X2 Y

• جمع‌پذیری در مؤلفه دوم:

  ∇_X (Y₁ + Y₂) = ∇_X Y₁ + ∇_X Y₂

• قاعده لایبنیتس (ضرب) در مؤلفه دوم:

  ∇_X (f Y) = X(f) · Y + f · ∇_X Y

۲. دستگاه مختصات موضعی و نمادهای کریستوفل

در یک دستگاه مختصات موضعی با پایه‌های { ∂_i = ∂ / ∂xⁱ }، اثر اتصال بر بردارهای پایه توسط توابعی هموار به نام نمادهای کریستوفل (Γ_ij^k) بیان می‌شود:

اگر میدان‌ها را بر حسب مؤلفه‌های موضعی بسط دهیم (X = ∑ Xⁱ ∂_i و Y = ∑ Y^j ∂_j)، مشتق کوواریانت دارای نمایش دقیق زیر خواهد بود:

۳. قضیه اساسی هندسه ریمانی (اتصال لِوی-چیویتا)

۴. محاسبه نمادهای کریستوفل بر حسب ماتریس متریک

دست‌نوشته‌های استاد عالم‌زاده صراحتاً نشان می‌دهند که چگونه با جایگشت دوری متغیرها در رابطه سازگاری با متریک، رابطه مشهور فرمول کوشول (Koszul formula) حاصل می‌شود:

که در آن g_ij = ⟨∂_i, ∂_j⟩ درایه‌های ماتریس متریک و g^kl درایه‌های ماتریس معکوس آن هستند.

جمع‌بندی هندسی: اتصال لِوی-چیویتا نشان می‌دهد که برای محاسبه دقیق مشتق و تغییرات یک بردار روی سطح منیفلد، نیازی به فضای برونی نداریم؛ هندسه و انحنای درونی خمینه (که در مشتقات ضرایب g_ij نهفته است) به تمامی مسیرِ حرکت و هدایت موازی را معین می‌نماید.