ریاضیات

قضیه: مشتق‌پذیری نگاشت مکمل متعامد بر منیفلد گراسمن

فرض کنید G(p, ℜⁿ) نشان‌دهنده منیفلد گراسمن (مجموعه تمام زیرفضاهای برداری p-بعدی از ℜⁿ) باشد. نگاشت مکمل متعامد را چنین تعریف می‌نماییم:

حکم: نگاشت F یک نگاشت هموار (نامتناهی‌بار مشتق‌پذیر یا C^∞) و در واقع یک دیفئومورفیسم میان منیفلدهای گراسمن است.

مراحل استنتاج و برهان ریاضی

گام نخست؛ انتخاب پایه و فرایند متعامدسازی گرام‌اشمیت:

فرض کنید V ∈ G(p, ℜⁿ) باشد و بردارهای {v₁, v₂, ..., v_p} ⊂ ℜⁿ یک پایه خطاً مستقل برای V تشکیل دهند. برای ساخت پایه‌ای یکه‌متعامد (Orthonormal)، الگوریتم گرام‌اشمیت را پیاده می‌کنیم:

سپس برای بردار دوم، مؤلفه هم‌راستای w₁ را کسر نموده و برداری عمود می‌سازیم:

به استقراء، برای هر گام k + 1 داریم:

چون اعمال ضرب داخلی، تفریق و تقسیم بر نرم همگی توابعی هموار (C^∞) از مؤلفه‌های بردارهای اولیه هستند، پایه یکه‌متعامد {w₁, ..., w_p} به شکل هموار به مؤلفه‌های پایه موضعی وابسته است.

گام دوم؛ توصیف مکمل متعامد از طریق دستگاه همگن:

بردار دلخواه z = (z₁, ..., z_n)^t متعلق به مکمل متعامد V^⊥ است اگر و تنها اگر بر تمامی پایه‌های V عمود باشد:

این شرط هم‌ارز با دستگاه معادلات خطی همگن زیر به شکل ماتریسی است:

که در آن ماتریس A دارای ستون‌های v₁, ..., v_p و بنابراین دارای ابعاد n × p است و ماتریس ترانهاده A^t دارای ابعاد p × n با رتبه کامل p می‌باشد:

گام سوم؛ بعد فضای جواب و استمرار هموار چارت‌ها:

بنا بر قضیه رتبه و پوچی (Rank-Nullity Theorem)، بُعد فضای جواب‌های این دستگاه دقیقاً برابر است با:

از آنجا که پایه‌های این فضای پوچ (جواب‌های مستقل) را می‌توان از طریق ماتریس‌های کهاد و معکوس موضعی به صورت هموار برحسب ضرایب a_ij استخراج کرد، نمایش موضعی نگاشت F در چارت‌های کئوردیناتی منیفلد گراسمن، ترکیب توابعی گویا و بی‌نهایت‌بار مشتق‌پذیر خواهد بود. در نتیجه، نگاشت مکمل متعامد F هموار و دیفئومورفیسم است.