۱. مقدمه و درآمد سخن

پس از آنکه قضیه‌ی افراز یکان را بر «چندلاهای فشرده» برهان کردیم، پرسشی بنیادین پیش می‌آید: چنانچه منیفلد M فشرده نباشد، چگونه می‌توان افراز یکان را محقق ساخت؟

پاسخ در پیوند میان دو اصلِ توپولوژیک نهفته است: شمارش‌پذیری دوم (Second Countable) و هاسدورف بودن (Hausdorff). این دو ویژگی در کنار هم، خاصیتِ بنیادینِ پارافشردگی (Paracompactness) را برای منیفلد به ارمغان می‌آورند؛ خاصیتی که امکانِ تقلیلِ مجموعه‌های نامتناهی را به جمع‌هایی «متناهی‌موضعی» فراهم می‌سازد.

۲. پارافشردگی یعنی چه؟

گوییم فضای توپولوژیک M پارافشرده است، هرگاه هر پوشش بازِ آن، یک پالایش بازِ متناهی‌موضعی داشته باشد؛ یعنی برای هر پوشش {U_α}، خانواده‌ای {V_i} بیابیم که:

• هر V_i در درونِ یکی از U_αها جای گیرد (پالایش).


• {V_i} نیز M را بپوشاند.


• هر نقطه‌ی p از M، همسایگی‌ای W_p داشته باشد که تنها با شمارِ متناهی‌ای از V_iها برخورد دارد (متناهی‌موضعی بودن).

حکمِ اثبات‌شده در توپولوژی این است: هر منیفلد هاسدورف، متصل و شمارش‌پذیر دوم، ناگزیر پارافشرده است. پس شمارش‌پذیری دوم، «ستونِ شمارش» است و هاسدورف، «ستونِ جدایی»؛ و بر این دو ستون، سقفِ پارافشردگی استوار می‌گردد.

در پستِ آینده، نخستین گامِ عملیِ برهان را برمی‌داریم: ساختِ زنجیره‌ی فشرده‌ساز و پوسته‌های پیازیِ که فضا را لایه‌لایه به دستِ ما می‌سپارند.