ریاضیات

۱. کلاف برداری (Vector Bundle)؛ نشاندنِ فضاها بر دوش فضا

تاکنون تنها با کلاف مماس (TM) مأنوس بوده‌ایم؛ جایی که بر هر نقطهٔ p از منیفلد M، یک فضای برداری هم‌بُعد مماس می‌نشست. اما در هندسه عام و فیزیک میدان‌های کوانتومی (نظریه‌های پیمانه‌ای)، ما نیازمند نشاندنِ فضاهای برداری با ابعادِ دلخواه و خواصِ متمایز بر نقاط منیفلد هستیم.

یک کلاف برداری هموار از مرتبهٔ k با نماد π : E → M مجموعه‌ای است که:

• به ازای هر نقطه p ∈ M، تار متناظر E_p = π⁻¹(p) یک فضای برداری حقیقی k-بعدی است.
• موضعی-بدیهی (Locally Trivial) است؛ یعنی در همسایگی هر نقطه، فضا مانند ضرب دکارتی U × R^k عمل می‌کند، هرچند ساختار سراسریِ آن ممکن است پیچشی شگفت (نظیر نوار موبیوس) داشته باشد.

۲. مقطع‌ها (Sections)؛ جانشینانِ میدان‌های برداری

تعمیمِ میدان‌های برداری روی کلاف‌های عام، «مقطع» (Section) نامیده می‌شود. مقطع هموار s ∈ Γ(E) نگاشتی است از پایه به کلاف کل (s : M → E) چنان‌که بر هر نقطه، عنصری از همان تار را برگزیند (π ο s = id_M).

۳. اتصال عام بر روی کلاف برداری (Connection on a Bundle)

چگونه از یک مقطعِ کلاف، در امتداد یک بردار مماس مشتق بگیریم؟ اتصال روی کلاف E نگاشتی است به فرم:

که به ازای هر میدان برداری مماس X ∈ Χ(M) و هر مقطع s ∈ Γ(E)، مقطع جدید ∇_X s را می‌سازد و در قاعده لایبنیتس صدق می‌کند:

۴. ۱-فرم‌های اتصال و تولد انحنا (Curvature 2-form)

اگر یک چارچوب موضعی (Local Frame) از مقاطع را با {e₁, ..., e_k} نشان دهیم، اتصال با یک ماتریس از ۱-فرم‌های دیفرانسیلی به نام ماتریس فرم اتصال (ω) معین می‌شود:

و شگفت‌آور آنکه وقتی اتصال را به فرم‌های دیفرانسیلی گسترش دهیم، تکرار دوگانهٔ آن (∇ ο ∇ = ∇²) برخلاف مشتق معمولی صفر نمی‌شود! این پدیده دقیقاً تانسور انحنا یا ۲-فرم انحنای کارتان (Ω) را خلق می‌کند: