هندسهٔ دوایر هم‌مرکز و جبرِ چسباندنِ ساختارها

۱. تحلیل هندسیِ دیاگرام دوایر هم‌مرکز

در یادداشت‌های استاد، شکل‌هایی با دو دایرهٔ هم‌مرکز به شعاع‌های r₁ < r₂ ترسیم شده است. هدف، ساخت تابعی است که روی یک همسایگی کامل (دایره داخلی) مقدار ۱ مطلق، و در بیرون گوی دوم مقدار صفر مطلق داشته باشد:

برای ساخت این تابع انتقال هموار (Transition Function)، تابع θ(t) را با انتگرال‌گیری معین بنا می‌کنیم:

با تعریف ρ(z) = θ(||z||²)، ویژگی‌های آرمانی حاصل می‌شود:

• اگر ||z|| ≤ r₁: مقدار ρ(z) = 1 (ثابت و هموار).
• اگر r₁ < ||z|| < r₂: مقدار ρ(z) با ردهٔ C^∞ از ۱ به ۰ فرود می‌آید.
• اگر ||z|| ≥ r₂: مقدار ρ(z) = 0 (بیرون گوی کاملاً خنثی).

۲. استقرای جبری در اثبات مشتق‌پذیری پایه

برای تابع f(s) = e^-1/s روی (0, ∞)، فرم بسته مشتق k-اُم به صورت زیر است:

استاد با برهان استقرا نشان داده‌اند که با مشتق‌گیری مجدد و استفاده از قاعده‌های حدگیری (رشد نمایی در برابر توان‌ها)، تمام مراتبِ مشتق در صفر به مقدار ۰ میل می‌کنند و پیوستگی در مبدأ تضمین می‌شود؛ لذا تابع در سراسر دامنه C^∞ است.

f^(k)(s) = [P_2k(s) / s^2k] · e^-1/s

ج) انتگرال‌گیری سراسری

انتگرال فرم ω چنین تعریف می‌شود: ∫_M ω = ∑ ∫_Ui (ψ_i ω). این تعریف مستقل از پوشش است.

«کثرتِ چارت‌ها حجابِ حقیقتِ منیفلد نیست؛ آنگاه که اکسیرِ افراز یکان بر آن دمیده شود، همه یک‌پارچه آیتِ نظم می‌گردند.»