فصل ششم: هندسه ریمانی؛ سنجشِ فاصله، اتصال و رازِ انحنای فضا
موضوع: تانسور متریک ریمانی، مشتق هموردا، نمادهای کریستوفل و تانسور انحنای ریمان
فضای هموار را جانی دگر بخشید سنجیدن،
به ترازوی متریک، رازِ مسافت‌ها پسندیدن.
چو بردار از پی بردار در خمِ منیفلد رفت،
پدید آمد خمیدگی، ز چرخش‌ها و تابیدن.
بخش نخست: تانسور متریک ریمانی (Riemannian Metric)
۱. تعریف و ساختار ضرب داخلی موضعی
یک منیفلد هموار M صرفاً فضایی توپولوژیک با مختصات محلی است و مفهومی برای «طول بردار» یا «زاویه» در آن وجود ندارد. متریک ریمانی g، تخصیصِ یک ضرب داخلی متقارن و اکیداً مثبت به فضای مماس در هر نقطه p ∈ M است:
gp : TpM × TpM → ℝ
در مختصات محلی (x1, x2, ..., xn)، مؤلفه‌های متریک به صورت ماتریسی از توابع هموار بیان می‌شوند:
gij(x) = g ( ∂/∂xi , ∂/∂xj )
عنصر طول دیفرانسیلی (Line Element) که فاصله میان نقاط بی‌نهایت نزدیک را تعیین می‌کند، به صورت فرم درجه دوم زیر نوشته می‌شود:
ds2 = ∑i,j gij dxi dxj
بخش دوم: اتصالِ لِوی-چیویتا و مشتق هموردا
۱. چالشِ مقایسه بردارها در نقاط مختلف
فضاهای مماس در نقاط مختلفِ یک منیفلدِ خمیده، مجزا از یکدیگرند. برای مشتق‌گیری از یک میدان برداری Y در راستای میدان برداری X، به یک اتصال آفین (مشتق هموردا) یعنی ∇XY نیاز داریم.
قضیه بنیادین هندسه ریمانی: بر روی هر منیفلد ریمانی، یک و تنها یک اتصالِ بدون تاب (Torsion-free) و سازگار با متریک (∇g = 0) وجود دارد که به اتصال لِوی-چیویتا (Levi-Civita Connection) معروف است.
۲. نمادهای کریستوفل (Christoffel Symbols)
اثر مشتق هموردا بر پایه‌های مختصاتی، توسط نمادهای کریستوفل Γkij توصیف می‌شود:
∇∂/∂xi ( ∂/∂xj ) = ∑k Γkij ( ∂/∂xk )
این نمادها مستقیماً از روی مشتقاتِ جزییِ مؤلفه‌های متریک محاسبه می‌شوند:
Γkij = ½ ∑l gkl ( ∂gjl/∂xi + ∂gil/∂xj − ∂gij/∂xl )
بخش سوم: تانسور انحنای ریمان (Riemann Curvature Tensor)
۱. جابه‌جاناپذیری مشتقات هموردا
در فضای تخت اقلیدسی، مشتقات جابه‌جا می‌شوند. اما در فضای خمیده، انتقال موازی یک بردار در امتداد یک مسیر بسته، بردار اولیه را دوران می‌دهد. معیارِ سنجشِ این خمیدگی، تانسور انحنای ریمان R است:
R(X, Y)Z = ∇X∇YZ − ∇Y∇XZ − ∇[X, Y]Z
۲. مؤلفه‌های تانسور انحنا در مختصات محلی
مؤلفه‌های تانسور ریمان Rlijk بر حسب نمادهای کریستوفل و مشتقات آنها چنین بیان می‌گردند:
Rlijk = ∂Γljk/∂xi − ∂Γlik/∂xj + ∑m ( Γlim Γmjk − Γljm Γmik )
قضیه همواری تخت: منیفلد محلی تخت (Locally Flat) است و می‌توان مختصاتی اقلیدسی در آن یافت اگر و تنها اگر تانسور انحنای ریمان در تمامی نقاط آن صفر باشد (R = 0).
بخش چهارم: تحلیل حکمی؛ حرکتِ جوهری در هندسه‌ی امکان
«فضا بی‌متریک، کالبدی بی‌تعین است؛ متریک ریمانی فیضِ تعینی است که به هر نقطه، شأنِ قرب و بُعد می‌بخشد.»
در فلسفه‌ی حکمت متعالیه، امتدادِ جسمانی و مکان‌مندی، وابسته به صورتِ نوعیه و تعینات وجودی است. تانسور ریمان گواه است که حرکت سالک در مسیرهای گوناگون، حاملِ اثری بنیادین از ساختار باطنی فضا است: اگر فضا واجدِ انحنا باشد، بازگشت به نقطهٔ آغازین، هرگز همراه با هیئتِ پیشین نخواهد بود؛ بردار دگرگون شده است، چرا که «خمیدگیِ بستر»، در بافتِ حرکت تنیده شده است.
نتیجه و چشم‌انداز
با انقباض (Contraction) تانسور ریمان، به تانسور انحنای ریچی (Ricci Curvature) و در نهایت انحنای اسکالر (Scalar Curvature) می‌رسیم که شالودهٔ معادلات میدان اینشتین در نسبیت عام و تئوری شار ریچی (Ricci Flow) در اثبات حدس پوانکاره هستند.
واژگان کلیدی:
هندسه ریمانی، تانسور متریک، اتصال لوی-چیویتا، نمادهای کریستوفل، مشتق هموردا، تانسور انحنای ریمان، انتقال موازی، انحنای ریچی.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.