ساختار تحلیلی توابع برآمدگی (Bump Functions) و چارت‌های موضعی
۱. تابع پایه هموار غیرتحلیلی در مبدأ
سنگ‌بنای ساخت ابزارهای هموار موضعی، تابع کلاسیک تک‌متغیره زیر بر روی محور حقیقی است:
f(s) =
{
e-1/s , s > 0
0 , s ≤ 0
این تابع در نقطه صفر و تمامی نقاط منفی بی‌نهایت‌بار مشتق‌پذیر (C∞) بوده و تمام مشتقات آن در مبدأ برابر با صفر است:
f(k)(0) = 0.
۲. تعریف تابع برآمدگی روی گوی‌های متمرکز
برای تعیین ناحیه اثر بر روی گوی‌های تو در تو به شعاع‌های r < R در فضای ℜn، تابع برآمدگی استاندارد با ضابطه زیر معرفی می‌شود:
g(x) = f(R2 - ||x||2)
ویژگی‌های رفتاری این تابع به تفکیک نواحی هندسی عبارت است از:
درون گوی باز (||x|| < R): مقدار تابع اکیداً مثبت است (g(x) > 0).
مرز و خارج گوی (||x|| ≥ R): تابع به نرمی به صفر میل کرده و مقدار آن دقیقاً برابر صفر می‌ماند (g(x) = 0).
تکیه‌گاه (Support): تکیه‌گاه تابع دقیقاً برابر با گوی بسته supp(g) = B̄R(0) است که مجموعه‌ای فشرده در ℜn می‌باشد.
۳. انتقال ساختار موضعی به منیفلد هموار (M)
فرض کنید (U, φ) یک چارت مختصاتی حول نقطه m ∈ M باشد به‌گونه‌ای که φ(m) = 0. برای تعریف تابع برآمدگی هموار hm: M → ℜ، آن را با ترکیب نگاشت چارت گسترش می‌دهیم:
hm(p) =
{
g(φ(p)) , p ∈ U
0 , p ∉ U
این تابع روی سراسر منیفلد M هموار است؛ زیرا تکیه‌گاه آن φ-1(B̄R(0)) مجموعه‌ای بسته و فشرده است که کاملاً در مجموعه باز U محاط شده و در مرز و خارج آن، تمام مشتقات به صفر محو می‌شوند.
۴. پیوند ساختاری با افراز یکان
وجود چنین توابع برآمدگی موضعی تضمین می‌کند که برای هر نقطه و هر همسایگی دلخواه روی منیفلد، تابعی هموار و ناصفر با دامنه اثر کاملاً کنترل‌شده در دست است. ترکیب این توابع تحت پالایش متناهی‌موضعی، پایه و اساس قضیه افراز یکان را تشکیل داده و امکان تعمیم تمامی مفاهیم موضعی (همچون انتگرال‌گیری روی فرم‌های دیفرانسیلی و ساخت متریک ریمانی سراسری) را بر روی کل منیفلد فراهم می‌سازد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.