ریاضیات

ادامهٔ بحث: مقادیر منظم، نقاط بحرانی و مجموعه‌های تراز

مقدمه

تصاویر تازه بسیار کم‌رنگ و تارند؛ به‌ویژه تصویرهای اول و سوم تقریباً خوانا نیستند. بااین‌حال، از فرمول‌های روشن‌تر در تصویرهای دوم و چهارم می‌توان دریافت که بحث از چارت‌های کره به سوی «نقاط بحرانی»، «مقادیر بحرانی» و «مجموعه‌های تراز» پیش می‌رود.

در تصویر چهارم، تابعی از صفحه به خط حقیقی بررسی شده و مشتق‌های جزئی آن برای یافتن نقاط بحرانی محاسبه شده‌اند. این بحث مقدمه‌ای اساسی برای قضیهٔ مقدار منظم و ساخت منیفلدها به‌صورت مجموعه‌های تراز است.

تابع هموار از فضای اقلیدسی به خط حقیقی

تابعی هموار را در نظر می‌گیریم:

f : ℝⁿ → ℝ

برای هر نقطهٔ p، مشتق تابع یک نگاشت خطی است:

dfₚ : ℝⁿ → ℝ

اگر مختصات فضای ℝⁿ را با x₁ تا xₙ نمایش دهیم، این نگاشت خطی به کمک مشتق‌های جزئی تعیین می‌شود:

dfₚ(v₁,…,vₙ)

=

(∂f ∕ ∂x₁)(p)v₁ + ⋯ + (∂f ∕ ∂xₙ)(p)vₙ

گرادیان تابع نیز چنین است:

∇f(p) =

((∂f ∕ ∂x₁)(p),…,(∂f ∕ ∂xₙ)(p))

نقطهٔ بحرانی

نقطهٔ p را نقطهٔ بحرانی تابع f می‌نامیم، هرگاه مشتق تابع در آن نقطه پوشا نباشد.

چون فضای مقصد ℝ یک‌بُعدی است، یک نگاشت خطی از ℝⁿ به ℝ دقیقاً هنگامی ناپوشاست که نگاشت صفر باشد. بنابراین شرایط زیر با یکدیگر معادل‌اند:

p is a critical point of f

dfₚ = 0

∇f(p) = 0

(∂f ∕ ∂x₁)(p) = ⋯ = (∂f ∕ ∂xₙ)(p) = 0

پس برای یافتن نقاط بحرانی تابع حقیقی، تمام مشتق‌های جزئی را برابر صفر قرار می‌دهیم و دستگاه حاصل را حل می‌کنیم.

مقدار بحرانی و مقدار منظم

اگر p نقطه‌ای بحرانی باشد، عدد f(p) را یک مقدار بحرانی می‌نامیم.

عدد c را مقدار منظم تابع f می‌گوییم، هرگاه هیچ نقطهٔ بحرانی در مجموعهٔ تراز f⁻¹(c) وجود نداشته باشد.

به بیان دقیق‌تر، c مقدار منظم است اگر برای هر نقطهٔ p با شرط f(p) = c، مشتق زیر پوشا باشد:

dfₚ : ℝⁿ → ℝ

برای توابع حقیقی، این شرط به شکل ساده‌تر زیر درمی‌آید:

f(p) = c ⇒ ∇f(p) ≠ 0

در مقابل، اگر نقطه‌ای مانند p وجود داشته باشد که:

f(p) = c

∇f(p) = 0

آنگاه c مقدار بحرانی است.

نکته دربارهٔ مجموعهٔ تراز تهی

اگر عدد c اصلاً در تصویر f نباشد، مجموعهٔ تراز f⁻¹(c) تهی است. در این حالت، شرط مقدار منظم به‌صورت تهی‌وار برقرار است؛ پس c نیز مقدار منظم محسوب می‌شود.

f⁻¹(c) = ∅ ⇒ c is a regular value

قضیهٔ مقدار منظم

قضیه. اگر c مقدار منظم تابع هموار زیر باشد:

f : ℝⁿ → ℝᵐ

آنگاه مجموعهٔ تراز:

f⁻¹(c)

یا تهی است، یا یک زیرمنیفلد هموار از ℝⁿ با بُعد n−m است.

در حالت ویژه‌ای که مقصد ℝ باشد، داریم:

f : ℝⁿ → ℝ

و در نتیجه، اگر c مقدار منظم باشد:

dim f⁻¹(c) = n−1

پس در صفحه، مجموعهٔ تراز منظم معمولاً یک منحنی است؛ در فضای سه‌بُعدی، معمولاً یک سطح است؛ و در فضای n‌بُعدی، یک ابرسطح خواهد بود.

مثال اصلیِ قابل‌تشخیص از تصویر چهارم

فرمول خواناتر تصویر چهارم، تابع زیر را نشان می‌دهد:

f : ℝ² → ℝ

f(x,y) = x⁴−x²+(1∕2)y²

هدف، یافتن نقاط بحرانی و مقادیر بحرانی این تابع است.

مرحلهٔ نخست: مشتق نسبت به x

مشتق جزئی تابع نسبت به x برابر است با:

∂f ∕ ∂x = 4x³−2x.

این عبارت را تجزیه می‌کنیم:

∂f ∕ ∂x = 2x(2x²−1)

برای بحرانی بودن نقطه باید این مشتق صفر باشد:

2x(2x²−1) = 0.

پس دو حالت داریم:

x = 0

یا:

2x²−1 = 0

از حالت دوم نتیجه می‌شود:

x² = 1∕2

بنابراین:

x = ±1∕√2

مرحلهٔ دوم: مشتق نسبت به y

مشتق جزئی نسبت به y برابر است با:

∂f ∕ ∂y = y

شرط صفر شدن آن چنین است:

y = 0

مرحلهٔ سوم: نقاط بحرانی

با ترکیب دو شرط، سه نقطهٔ بحرانی به دست می‌آید:

p₀ = (0,0)

p₊ = (1∕√2,0)

p₋ = (−1∕√2,0)

بنابراین مجموعهٔ نقاط بحرانی تابع برابر است با:

Crit(f) = {(0,0),(1∕√2,0),(−1∕√2,0)}

محاسبهٔ مقادیر بحرانی

مقدار تابع در مبدأ

داریم:

f(0,0) = 0

پس صفر یک مقدار بحرانی است.

مقدار تابع در دو نقطهٔ دیگر

اگر:

x = ±1∕√2

آنگاه:

x² = 1∕2

x⁴ = 1∕4

پس:

f(±1∕√2,0) = 1∕4−1∕2

در نتیجه:

f(±1∕√2,0) = −1∕4

بنابراین مجموعهٔ مقادیر بحرانی تابع چنین است:

CritVal(f) = {−1∕4,0}

هر عدد حقیقی به‌جز این دو عدد، مقدار منظم تابع است:

c ∉ {−1∕4,0} ⇒ c is a regular value

تصویر تابع و کمینهٔ آن

برای شناخت مجموعه‌های تراز، بهتر است تابع را به‌شکل مربع کامل بنویسیم. بخش وابسته به x چنین بازنویسی می‌شود:

x⁴−x² = (x²−1∕2)²−1∕4

پس:

f(x,y) = (x²−1∕2)² + (1∕2)y² − 1∕4

دو جملهٔ مربعی نامنفی‌اند؛ بنابراین:

f(x,y) ≥ −1∕4

برابری دقیقاً در دو نقطه برقرار است:

(x,y) = (±1∕√2,0)

پس تصویر تابع برابر است با:

f(ℝ²) = [−1∕4,∞)

ازاین‌رو، اگر:

c < −1∕4

آنگاه مجموعهٔ تراز تهی است:

f⁻¹(c) = ∅

بررسی مجموعه‌های تراز

معادلهٔ مجموعهٔ تراز c چنین است:

x⁴−x²+(1∕2)y² = c

با حل معادله نسبت به y² داریم:

y² = 2(c−x⁴+x²)

یا به‌صورت مربع کامل:

(x²−1∕2)² + (1∕2)y² = c+1∕4

شکل هندسی مجموعهٔ تراز با عبور c از دو مقدار بحرانی −1∕4 و صفر تغییر می‌کند.

حالت نخست: پایین‌تر از کمینه

اگر:

c < −1∕4

هیچ نقطه‌ای در مجموعهٔ تراز وجود ندارد:

f⁻¹(c) = ∅

حالت دوم: تراز کمینه

اگر:

c = −1∕4

معادله به صورت زیر درمی‌آید:

(x²−1∕2)² + (1∕2)y² = 0

مجموع دو عبارت نامنفی فقط هنگامی صفر است که هر دو صفر باشند. پس:

x² = 1∕2

y = 0

بنابراین:

f⁻¹(−1∕4) = {(1∕√2,0),(−1∕√2,0)}

این تراز شامل دو نقطهٔ بحرانی است؛ بنابراین −1∕4 مقدار منظم نیست.

حالت سوم: میان دو مقدار بحرانی

اگر:

−1∕4 < c < 0

مجموعهٔ تراز از دو مؤلفهٔ بسته و جدا از هم تشکیل می‌شود: یکی پیرامون نقطهٔ کمینهٔ سمت راست و دیگری پیرامون نقطهٔ کمینهٔ سمت چپ.

چون c مقدار منظم است، هر مؤلفه یک منیفلد هموار یک‌بُعدی است. از بسته و کراندار بودن آن نیز نتیجه می‌شود که هر مؤلفه با دایره هم‌ریخت است.

پس در این بازه، مجموعهٔ تراز از دو دایرهٔ جدا تشکیل می‌شود:

f⁻¹(c) ≅ S¹ ⊔ S¹

حالت چهارم: تراز صفر

برای c = 0 داریم:

x⁴−x²+(1∕2)y² = 0

پس:

y² = 2x²(1−x²)

در مبدأ، هر دو مشتق جزئی صفرند:

∇f(0,0) = (0,0)

بنابراین صفر یک مقدار بحرانی است و قضیهٔ مقدار منظم دربارهٔ این تراز قابل اعمال نیست.

در حقیقت، تراز صفر در مبدأ دارای خودتقاطع است. برای دیدن رفتار محلی، جمله‌های مرتبهٔ پایین‌تر را بررسی می‌کنیم:

f(x,y) ≈ −x²+(1∕2)y²

معادلهٔ تقریبی تراز صفر چنین است:

−x²+(1∕2)y² = 0

پس:

y = ±√2x

بنابراین دو شاخه در مبدأ یکدیگر را قطع می‌کنند. هر شاخه به‌تنهایی مانند یک بازه است، ولی اجتماع دو شاخه در نقطهٔ تقاطع مانند یک بازهٔ باز نیست؛ ازاین‌رو کل مجموعهٔ تراز صفر در مبدأ، منیفلد یک‌بُعدی نیست.

حالت پنجم: ترازهای مثبت

اگر:

c > 0

مجموعهٔ تراز دیگر دو مؤلفهٔ جدا ندارد؛ دو بخش از راه ناحیهٔ مرکزی به یکدیگر پیوسته‌اند و یک منحنی بستهٔ هموار می‌سازند.

چون c مقدار منظم است، مجموعهٔ تراز یک منیفلد هموار یک‌بُعدی است. همچنین بسته و کراندار است؛ بنابراین فشرده است. این مجموعه یک مؤلفه دارد و با دایره هم‌ریخت است:

f⁻¹(c) ≅ S¹

خلاصهٔ تغییر توپولوژی ترازها

با افزایش c، مجموعه‌های تراز چنین تغییر می‌کنند:

• برای c کمتر از −1∕4، مجموعهٔ تراز تهی است.
• در c برابر −1∕4، دو نقطهٔ کمینه پدید می‌آیند.
• برای c میان −1∕4 و صفر، دو منحنی بسته و جدا داریم.
• در c برابر صفر، دو مؤلفه در نقطهٔ بحرانی مبدأ به یکدیگر می‌رسند.
• برای c بزرگ‌تر از صفر، یک منحنی بسته و همبند داریم.

پس تغییر نوع توپولوژیک مجموعه‌های تراز دقیقاً در مقادیر بحرانی رخ می‌دهد:

c = −1∕4

c = 0

این مشاهده یکی از اندیشه‌های مرکزی نظریهٔ مورس است: نقاط بحرانی محل‌هایی هستند که توپولوژی مجموعه‌های زیرتراز یا تراز می‌تواند تغییر کند.

طبقه‌بندی نقاط بحرانی با ماتریس هسین

برای طبقه‌بندی نقاط بحرانی، ماتریس مشتق‌های جزئی مرتبهٔ دوم را محاسبه می‌کنیم. برای تابع موردنظر داریم:

∂²f ∕ ∂x² = 12x²−2

∂²f ∕ ∂x∂y = 0

∂²f ∕ ∂y² = 1

پس ماتریس هسین برابر است با:

Hf(x,y) = diag(12x²−2,1)

طبقه‌بندی مبدأ

در نقطهٔ (0,0) داریم:

Hf(0,0) = diag(−2,1)

یک مقدار ویژه منفی و دیگری مثبت است. پس مبدأ یک نقطهٔ زینی است.

(0,0) is a saddle point

طبقه‌بندی دو نقطهٔ دیگر

در دو نقطه‌ای که x² = 1∕2 است، داریم:

12x²−2 = 4

پس:

Hf(±1∕√2,0) = diag(4,1)

هر دو مقدار ویژه مثبت‌اند؛ بنابراین این دو نقطه کمینه‌های موضعی‌اند. از بازنویسی تابع به شکل مربع کامل دانستیم که این دو نقطه حتی کمینه‌های مطلق نیز هستند.

مثال بنیادی: کره به‌صورت مجموعهٔ تراز

تابع زیر را در نظر می‌گیریم:

F : ℝ³ → ℝ

F(x₁,x₂,x₃) = x₁²+x₂²+x₃²

کرهٔ واحد مجموعهٔ تراز یک است:

S² = F⁻¹(1)

گرادیان تابع چنین است:

∇F(x₁,x₂,x₃) = (2x₁,2x₂,2x₃)

اگر نقطه‌ای روی F⁻¹(1) باشد، نمی‌تواند هر سه مختصه‌اش صفر باشد. بنابراین:

∇F(p) ≠ 0

پس عدد یک مقدار منظم F است و از قضیهٔ مقدار منظم نتیجه می‌گیریم:

S² = F⁻¹(1)

یک منیفلد هموار با بُعد زیر است:

3−1 = 2

این راه، اثباتی کوتاه‌تر از ساخت مستقیم چارت‌های استریوگرافیک برای منیفلد بودن کره فراهم می‌کند؛ هرچند چارت‌های استریوگرافیک مختصات صریح‌تری به دست می‌دهند.

مثال: دایره

تابع زیر را در نظر می‌گیریم:

G : ℝ² → ℝ

G(x,y) = x²+y²

دایرهٔ واحد برابر است با:

S¹ = G⁻¹(1)

گرادیان تابع چنین است:

∇G(x,y) = (2x,2y)

این گرادیان روی دایره هرگز صفر نیست؛ پس یک مقدار منظم است و S¹ یک منیفلد یک‌بُعدی خواهد بود:

dim S¹ = 2−1 = 1

مثال: استوانه

تابع زیر را در فضای سه‌بُعدی تعریف می‌کنیم:

H(x,y,z) = x²+y²

استوانهٔ واحد مجموعهٔ تراز زیر است:

H⁻¹(1) = {(x,y,z) ∈ ℝ³ : x²+y² = 1}

گرادیان تابع برابر است با:

∇H(x,y,z) = (2x,2y,0)

روی مجموعهٔ تراز یک، x و y نمی‌توانند هم‌زمان صفر باشند. پس گرادیان صفر نیست و استوانه یک منیفلد دوبُعدی است:

dim H⁻¹(1) = 3−1 = 2

فضای مماس مجموعهٔ تراز

اگر c مقدار منظم f باشد و p در مجموعهٔ تراز f⁻¹(c) قرار داشته باشد، فضای مماس مجموعهٔ تراز در p برابر هستهٔ مشتق f است:

Tₚ(f⁻¹(c)) = ker(dfₚ)

برای تابع حقیقی، این شرط به شکل ضرب داخلی نوشته می‌شود:

Tₚ(f⁻¹(c)) = {v ∈ ℝⁿ : ∇f(p) · v = 0}

پس گرادیان بر تمام بردارهای مماس عمود است. به همین دلیل، گرادیان یک بردار نرمال طبیعی برای مجموعهٔ تراز است.

فضای مماس کره

برای کرهٔ واحد، تابع تعریف‌کننده چنین بود:

F(x) = ‖x‖²

مشتق آن در نقطهٔ p برابر است با:

dFₚ(v) = 2p · v

بنابراین:

TₚS² = {v ∈ ℝ³ : p · v = 0}

یعنی صفحهٔ مماس کره در p همان صفحه‌ای است که بر بردار شعاعی p عمود است.

تعبیر رده‌ای مجموعهٔ تراز

در ردهٔ مجموعه‌ها، مجموعهٔ تراز f⁻¹(c) را می‌توان به‌صورت هم‌برابرکننده معرفی کرد. دو نگاشت زیر را در نظر می‌گیریم:

f : X → ℝ

c̄ : X → ℝ

که c̄ نگاشت ثابت با مقدار c است:

c̄(x) = c

آنگاه مجموعهٔ نقاطی که در آن‌ها دو نگاشت برابرند، دقیقاً مجموعهٔ تراز است:

Eq(f,c̄) = {x ∈ X : f(x) = c}

Eq(f,c̄) = f⁻¹(c)

همچنین می‌توان آن را به‌صورت حاصل‌ضرب کشیده نیز دید. نگاشت انتخاب نقطهٔ c را چنین در نظر می‌گیریم:

ιc : {∗} → ℝ

ιc(∗) = c

آنگاه مجموعهٔ تراز، حاصل‌ضرب کشیدهٔ f و ιc است:

f⁻¹(c) ≅ X ×ℝ {∗}

از دید هندسهٔ دیفرانسیل، منظم بودن مقدار c سبب می‌شود این حاصل‌ضرب کشیده، ساختار منیفلدی مطلوبی داشته باشد. پس «قضیهٔ مقدار منظم» را می‌توان پلی میان ساخت رده‌ایِ حاصل‌ضرب کشیده و ساخت هندسیِ زیرمنیفلد دانست.

رابطه با تصویرهای پیشین

در تصویرهای پیشین، کره با دو چارت استریوگرافیک مطالعه شد. اکنون همان کره را می‌توان با یک معادله تعریف کرد:

x₁²+x₂²+x₃² = 1

دو روش، دو جلوه از یک حقیقت‌اند:

• روش چارت‌ها نشان می‌دهد هر نقطهٔ کره دارای همسایگی‌ای هم‌ریخت با بخشی از ℝ² است.
• روش مقدار منظم نشان می‌دهد کره مجموعهٔ تراز منظم تابعی از ℝ³ به ℝ است.

روش نخست مختصات محلی را آشکار می‌کند و روش دوم ساختار منیفلدی را از رتبهٔ مشتق نتیجه می‌گیرد.

نتیجه‌گیری

نقاط بحرانی، جاهایی‌اند که مشتق تابع رتبهٔ لازم را از دست می‌دهد؛ مقادیر بحرانی، تصویر همین نقاط‌اند؛ و مقادیر منظم، ترازهایی‌اند که در سراسر آن‌ها مشتق پوشا باقی می‌ماند.

در مثال اصلی تصاویر، تابع:

f(x,y) = x⁴−x²+(1∕2)y²

سه نقطهٔ بحرانی و دو مقدار بحرانی دارد:

Crit(f) = {(0,0),(1∕√2,0),(−1∕√2,0)}

CritVal(f) = {−1∕4,0}

با عبور مقدار تراز از این دو عدد، شکل و توپولوژی مجموعهٔ تراز تغییر می‌کند. بیرون از این مقادیر، ترازها منیفلدهای هموار یک‌بُعدی‌اند؛ اما در تراز صفر، نقطهٔ زینی مبدأ موجب خودتقاطع و پیدایش تکینگی می‌شود.

جان سخن: هرجا مشتق از توان می‌افتد، شکل نیز امکان دگرگونی می‌یابد؛ و هرجا مقدار منظم است، تراز نرم و منیفلد، بی‌شکاف و بی‌گزند پدیدار می‌شود.