ریاضیات

قضیه: توپولوژی یک منیفلد اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند

بله، درست است. موضوع تصاویر، اثبات این قضیه است که توپولوژی القاشده به‌وسیلهٔ چارت‌های یک منیفلد، اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند.

تصویر مجموعه‌های تودرتوی U و V و نگاشت میان آن‌ها نیز نشان می‌دهد که چگونه یک پایهٔ شمارای محلی در فضای اقلیدسی، به کمک وارون چارت به منیفلد منتقل می‌شود.

بیان قضیه

قضیه. اگر M یک منیفلد توپولوژیک n‌بُعدی باشد، آنگاه M اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند؛ یعنی هر نقطهٔ p از M دارای یک پایهٔ شمارای محلی است.

اصل اول شمارش‌پذیری چیست؟

فضای توپولوژیک M را اصل اول شمارش‌پذیر می‌نامیم، هرگاه برای هر نقطهٔ p از M، خانواده‌ای شمارا از همسایگی‌های p وجود داشته باشد:

𝓑ₚ = {B₁,B₂,B₃,…}

به‌گونه‌ای که برای هر همسایگی باز O از p، دست‌کم یک عدد طبیعی k وجود داشته باشد که:

p ∈ Bₖ ⊆ O

به چنین خانواده‌ای، پایهٔ شمارای محلی در نقطهٔ p می‌گوییم.

اثبات قضیه

نقطهٔ دلخواه p را از منیفلد M انتخاب می‌کنیم:

p ∈ M

چون M یک منیفلد n‌بُعدی است، چارت مختصاتی‌ای پیرامون p وجود دارد:

(U,φ)

که در آن:

p ∈ U ⊆ M

φ : U → V

V = φ(U) ⊆ ℝⁿ

همچنین φ یک هم‌ریختی توپولوژیک است و V مجموعه‌ای باز در ℝⁿ است.

مختصات نقطهٔ p را با x نشان می‌دهیم:

x = φ(p)

ساخت پایهٔ شمارای محلی در فضای اقلیدسی

برای هر عدد طبیعی k، گوی باز با مرکز x و شعاع ۱/k را در نظر می‌گیریم:

Dₖ = B(x,1/k)

چون ممکن است برخی از این گوی‌ها کاملاً در V قرار نگیرند، آن‌ها را با V اشتراک می‌دهیم:

Vₖ = V ∩ B(x,1/k)

هر Vₖ یک مجموعهٔ باز در V است و نقطهٔ x را در بر دارد:

x ∈ Vₖ

این مجموعه‌ها تودرتو هستند:

V₁ ⊇ V₂ ⊇ V₃ ⊇ ⋯

خانوادهٔ زیر شماراست:

𝓥ₓ = {Vₖ | k ∈ ℕ}

اکنون این همسایگی‌ها را به کمک وارون چارت به منیفلد بازمی‌گردانیم.

انتقال پایه از فضای اقلیدسی به منیفلد

برای هر عدد طبیعی k تعریف می‌کنیم:

Uₖ = φ⁻¹(Vₖ)

از آنجا که φ یک هم‌ریختی است و Vₖ در V باز است، مجموعهٔ Uₖ نیز در U و در نتیجه در M باز است.

همچنین چون x در Vₖ قرار دارد، داریم:

p = φ⁻¹(x) ∈ Uₖ

بنابراین هر Uₖ یک همسایگی باز از p است. خانوادهٔ حاصل چنین است:

𝓑ₚ = {Uₖ | k ∈ ℕ}

این خانواده شماراست، زیرا با اعداد طبیعی شاخص‌گذاری شده است.

اثبات خاصیت پایهٔ محلی

اکنون باید نشان دهیم که 𝓑ₚ واقعاً یک پایهٔ محلی در p است.

فرض کنیم O یک همسایگی باز دلخواه از p در M باشد:

p ∈ O

از آنجا که U نیز همسایگی باز p است، مجموعهٔ زیر یک همسایگی باز از p خواهد بود:

O ∩ U

چون φ یک هم‌ریختی است، تصویر این مجموعه در V باز است:

φ(O ∩ U)

این مجموعهٔ باز، نقطهٔ x را در بر دارد:

x ∈ φ(O ∩ U)

فضای اقلیدسی ℝⁿ در هر نقطه دارای پایهٔ شمارای گوی‌های باز است. بنابراین عدد طبیعی kای وجود دارد که:

V ∩ B(x,1/k) ⊆ φ(O ∩ U)

یعنی:

Vₖ ⊆ φ(O ∩ U)

اکنون از دو طرف پیش‌تصویر φ را می‌گیریم:

φ⁻¹(Vₖ) ⊆ O ∩ U

اما بنا بر تعریف داریم:

φ⁻¹(Vₖ) = Uₖ

پس:

p ∈ Uₖ ⊆ O ∩ U ⊆ O

بنابراین درون هر همسایگی O از p، یکی از اعضای خانوادهٔ شمارای 𝓑ₚ قرار می‌گیرد. پس 𝓑ₚ یک پایهٔ شمارای محلی در p است.

از آنجا که p دلخواه بود، این استدلال برای تمام نقاط M برقرار است. در نتیجه:

M is first countable

خلاصهٔ تصویری اثبات

در فضای اقلیدسی، گوی‌های تودرتو را داریم:

V₁ ⊇ V₂ ⊇ V₃ ⊇ ⋯

با استفاده از وارون چارت، این مجموعه‌ها به همسایگی‌های تودرتوی نقطهٔ p در منیفلد تبدیل می‌شوند:

U₁ ⊇ U₂ ⊇ U₃ ⊇ ⋯

که در آن:

Uₖ = φ⁻¹(Vₖ)

نمودار مفهومی آن چنین است:

Uₖ ⊆ U ⊆ M

φ ↓

Vₖ ⊆ V ⊆ ℝⁿ

پس پایهٔ شمارای محلی از فضای اقلیدسی به منیفلد منتقل می‌شود.

چرا از گوی‌های با شعاع ۱/k استفاده می‌کنیم؟

اعداد طبیعی مجموعه‌ای شمارا هستند. ازاین‌رو خانوادهٔ گوی‌های زیر نیز شماراست:

{B(x,1/k) | k ∈ ℕ}

از سوی دیگر، شعاع این گوی‌ها به صفر میل می‌کند:

1/k → 0

بنابراین این گوی‌ها به‌اندازهٔ کافی کوچک می‌شوند تا سرانجام در هر همسایگی باز داده‌شده از x قرار گیرند. همین ویژگی، آن‌ها را به یک پایهٔ محلی تبدیل می‌کند.

راه دوم: انتخاب یک گوی کاملاً درون ناحیهٔ چارت

چون V باز است و x در V قرار دارد، عدد مثبت r وجود دارد که:

B(x,r) ⊆ V

آنگاه می‌توان خانوادهٔ زیر را در نظر گرفت:

Vₖ = B(x,r/k)

و سپس تعریف کرد:

Uₖ = φ⁻¹(B(x,r/k))

این خانواده نیز یک پایهٔ شمارای محلی در p می‌سازد. این صورت، از نظر هندسی روشن‌تر است؛ زیرا تمام گوی‌ها از ابتدا در ناحیهٔ مختصاتی V قرار دارند.

ارتباط با توپولوژی القاشده توسط اطلس

اگر توپولوژی M به‌وسیلهٔ چارت‌ها تعریف یا القا شده باشد، مجموعه‌ای مانند O در M باز است، هرگاه تصویر مختصاتی آن در هر ناحیهٔ چارت باز باشد. به بیان محلی:

O ∩ U is open in U

اگر و تنها اگر:

φ(O ∩ U) is open in V

ازاین‌رو چارت تنها دستگاهی برای نام‌گذاری نقاط نیست؛ بلکه ساختار توپولوژیک همسایگی‌ها را نیز بی‌کم‌وکاست منتقل می‌کند. پایهٔ شمارای محلی ℝⁿ از همین راه به M منتقل می‌شود.

اصل اول و اصل دوم شمارش‌پذیری

در این‌جا باید میان دو مفهوم تفاوت گذاشت.

اصل اول شمارش‌پذیری: هر نقطه، پایهٔ محلی شمارا داشته باشد.

∀p ∈ M, 𝓑ₚ is countable

اصل دوم شمارش‌پذیری: کل فضای M یک پایهٔ توپولوژیک شمارا داشته باشد.

∃𝓑, 𝓑 is a countable basis for M

اصل دوم از اصل اول قوی‌تر است. اگر فضا اصل دوم شمارش‌پذیری را داشته باشد، حتماً اصل اول را نیز دارد؛ اما عکس آن در حالت کلی درست نیست.

اثبات بالا فقط به محلی‌اقلیدسی بودن منیفلد متکی است. بنابراین حتی اگر در تعریف منیفلد، شرط اصل دوم شمارش‌پذیری را نیاوریم، باز هم هر فضای محلی‌اقلیدسی اصل اول شمارش‌پذیری را دارد.

ارتباط با مثال خط دارای چند مبدأ

فضای خط با چندین مبدأ که در تصاویر قبلی بررسی شد، نمونهٔ مهمی برای تفکیک این دو اصل است.

هر مبدأ (0,a) دارای یک چارت به ℝ است. ازاین‌رو می‌توان گوی‌ها یا بازه‌های شمارای پیرامون صفر را به آن چارت بازگرداند. بنابراین هر مبدأ، پایهٔ محلی شمارا دارد.

Uₖᵃ = ηₐ⁻¹((−1/k,1/k))

پس خط دارای چندین مبدأ اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند.

بااین‌حال، اگر مجموعهٔ مبدأها ناشمارا باشد، کل فضا ممکن است اصل دوم شمارش‌پذیری را ارضا نکند. بنابراین این مثال نشان می‌دهد:

First countable ⇏ Second countable

همچنین خط دارای چند مبدأ ممکن است هاسدورف نباشد؛ ولی این امر نیز مانع اصل اول شمارش‌پذیری نمی‌شود. پس سه خاصیت زیر از یکدیگر متمایزند:

• محلی‌اقلیدسی بودن؛
• هاسدورف بودن؛
• اصل دوم شمارش‌پذیری.

محلی‌اقلیدسی بودن به‌تنهایی اصل اول شمارش‌پذیری را نتیجه می‌دهد، اما لزوماً هاسدورف بودن یا اصل دوم شمارش‌پذیری را نتیجه نمی‌دهد.

نتیجه

پس محتوای درست تصاویر چنین است: در هر نقطهٔ p از منیفلد، یک چارت محلی داریم که همسایگی آن نقطه را با یک مجموعهٔ باز در ℝⁿ هم‌ریخت می‌کند. فضای ℝⁿ دارای پایهٔ شمارای محلی از گوی‌های کوچک‌شونده است؛ وارون چارت نیز این پایه را به منیفلد انتقال می‌دهد.

Vₖ = V ∩ B(φ(p),1/k)

Uₖ = φ⁻¹(Vₖ)

بنابراین خانوادهٔ شمارای زیر یک پایهٔ محلی در p است:

𝓑ₚ = {Uₖ | k ∈ ℕ}

در نتیجه، توپولوژی هر منیفلد ــ و حتی هر فضای محلی‌اقلیدسی ــ اصل اول شمارش‌پذیری را ارضا می‌کند.