ریاضیات

حل مسئلهٔ منیفلد: خط حقیقی با چندین مبدأ

با تصاویر تازه، صورت مسئله روشن‌تر شده است. فضای مورد بحث به‌احتمال بسیار زیاد نمونهٔ مشهورِ خط حقیقی با چندین مبدأ است. این فضا در هر نقطه، محلی شبیه خط حقیقی است؛ اما معمولاً شرط جدایی هاسدورف را ندارد. اگر مجموعهٔ مبدأها ناشمارا باشد، شرط شمارایی دوم را نیز از دست می‌دهد.

۱. ساخت فضای مورد نظر

ابتدا خط حقیقیِ سوراخ‌شده را در نظر می‌گیریم:

U = (ℝ − {0}) × {0}

سپس به‌جای یک مبدأ، برای هر عدد حقیقی a یک مبدأِ جداگانه با نماد (0,a) قرار می‌دهیم. بنابراین فضای H چنین تعریف می‌شود:

H = U ∪ {(0,a) | a ∈ ℝ}

به زبان ساده، تمام نقطه‌های ناصفر میان نسخه‌های مختلف خط مشترک‌اند، ولی نقطهٔ صفر تکثیر شده است. ازاین‌رو برای هر a یک نقطهٔ متمایز مانند (0,a) داریم.

برای نمونه، نقاط زیر از یکدیگر متمایزند:

(0,1) ≠ (0,2)

اما هر دو نقش مبدأ خط را بازی می‌کنند.

۲. تعریف ناحیه‌های مختصاتی

برای هر a از ℝ، زیرمجموعهٔ Uₐ را چنین می‌سازیم:

Uₐ = U ∪ {(0,a)}

یعنی Uₐ شامل تمام نقاط ناصفرِ خط و فقط یک مبدأ، یعنی (0,a)، است.

اکنون نگاشت مختصاتی ηₐ را تعریف می‌کنیم:

ηₐ : Uₐ → ℝ

تعریف این نگاشت به‌صورت زیر است:

ηₐ(s,0) = s if s ≠ 0

ηₐ(0,a) = 0

پس ηₐ تمام نقاط ناصفر را به همان عدد حقیقی متناظر می‌فرستد و مبدأِ شمارهٔ a را به صفر می‌برد.

۳. چرا هر ηₐ یک تناظر است؟

برای هر عدد حقیقی s دو حالت داریم.

حالت نخست: اگر s ناصفر باشد، نقطهٔ (s,0) در Uₐ قرار دارد و داریم:

ηₐ(s,0) = s

حالت دوم: اگر s برابر صفر باشد، نقطهٔ متناظر در Uₐ همان (0,a) است و داریم:

ηₐ(0,a) = 0

بنابراین هر عدد حقیقی دقیقاً یک پیش‌تصویر در Uₐ دارد. وارون این نگاشت نیز چنین است:

ηₐ⁻¹(s) = (s,0) if s ≠ 0

ηₐ⁻¹(0) = (0,a)

پس ηₐ یک تناظر میان Uₐ و ℝ است.

۴. تعریف توپولوژی روی H

می‌توان توپولوژی H را به کمک همین چارت‌ها تعریف کرد. مجموعهٔ A در H باز است، هرگاه برای هر a، تصویرِ اشتراک آن با Uₐ در خط حقیقی باز باشد:

A is open in H ⇔ ηₐ(A ∩ Uₐ) is open in ℝ for every a ∈ ℝ

با این تعریف، هر Uₐ یک زیرمجموعهٔ باز از H می‌شود و ηₐ یک هم‌ریختی توپولوژیک است:

ηₐ : Uₐ ≅ ℝ

همچنین ناحیه‌های Uₐ سراسر H را می‌پوشانند:

H = ⋃ₐ∈ℝ Uₐ

زیرا هر نقطهٔ ناصفر در تمام Uₐها حضور دارد و هر مبدأ (0,a) در ناحیهٔ مخصوص Uₐ قرار گرفته است.

۵. اشتراک دو ناحیهٔ مختصاتی

اگر a و b متفاوت باشند، Uₐ و Uᵦ دارای مبدأ مشترک نیستند. بااین‌حال، تمام نقاط ناصفر میان آن‌ها مشترک است. بنابراین:

Uₐ ∩ Uᵦ = U

ηₐ(Uₐ ∩ Uᵦ) = ℝ − {0}

ηᵦ(Uₐ ∩ Uᵦ) = ℝ − {0}

این نکته در بررسی نگاشت‌های گذار اهمیت دارد.

۶. محاسبهٔ نگاشت گذار

نگاشت گذار میان دو چارت ηₐ و ηᵦ به‌شکل زیر است:

ηᵦ ∘ ηₐ⁻¹ : ℝ − {0} → ℝ − {0}

برای هر s ناصفر داریم:

ηₐ⁻¹(s) = (s,0)

و سپس:

ηᵦ(ηₐ⁻¹(s)) = ηᵦ(s,0) = s

در نتیجه نگاشت گذار همان نگاشت همانی است:

ηᵦ ∘ ηₐ⁻¹ = idℝ−{0}

نگاشت همانی هم پیوسته و هم هموار است. پس تمام چارت‌های این خانواده با یکدیگر سازگارند.

۷. اطلس هموار

خانوادهٔ زیر یک اطلس هموار روی H می‌سازد:

𝒜 = {(Uₐ,ηₐ) | a ∈ ℝ}

زیرا:

1. مجموعه‌های Uₐ تمام H را می‌پوشانند.


2. هر ηₐ، ناحیهٔ Uₐ را به ℝ می‌برد.


3. هر ηₐ یک هم‌ریختی توپولوژیک است.


4. نگاشت‌های گذار روی ℝ − {0} همانی و در نتیجه هموارند.

بنابراین H از دید محلی یک فضای یک‌بعدی و هموار است.

dim H = 1

۸. چرا H هاسدورف نیست؟

اکنون دو مبدأ متفاوت را انتخاب می‌کنیم:

p = (0,a)

q = (0,b)

a ≠ b

این دو نقطه متفاوت‌اند. برای هاسدورف بودن H باید بتوان همسایگی‌های بازی P و Q پیدا کرد که:

p ∈ P

q ∈ Q

P ∩ Q = ∅

اما چنین چیزی ممکن نیست. چون ηₐ(P ∩ Uₐ) یک همسایگی باز از صفر در ℝ است، عدد مثبت ε₁ وجود دارد که:

(−ε₁,ε₁) ⊆ ηₐ(P ∩ Uₐ)

همچنین چون ηᵦ(Q ∩ Uᵦ) همسایگی باز صفر است، عدد مثبت ε₂ وجود دارد که:

(−ε₂,ε₂) ⊆ ηᵦ(Q ∩ Uᵦ)

اکنون عدد ناصفر s را چنان انتخاب می‌کنیم که:

0 < |s| < min{ε₁,ε₂}

نقطهٔ (s,0) هم در P و هم در Q قرار می‌گیرد. بنابراین:

(s,0) ∈ P ∩ Q

پس هر همسایگیِ مبدأ (0,a) با هر همسایگیِ مبدأ (0,b) اشتراک دارد:

P ∩ Q ≠ ∅

در نتیجه دو مبدأ متفاوت را نمی‌توان با دو مجموعهٔ بازِ جدا از هم تفکیک کرد. بنابراین:

H is not Hausdorff

۹. وضعیت اصل شمارایی دوم

در تصاویر، مبدأها با تمام اعداد حقیقی a شاخص‌گذاری شده‌اند. بنابراین مجموعهٔ مبدأها ناشماراست:

D = {(0,a) | a ∈ ℝ}

برای هر a، مجموعهٔ Uₐ فقط شامل مبدأ (0,a) است و هیچ مبدأ دیگری را در بر ندارد:

Uₐ ∩ D = {(0,a)}

ازاین‌رو D با توپولوژی زیر‌فضا یک زیر‌فضای گسستهٔ ناشماراست. اما هر زیر‌فضای یک فضای دارای شمارایی دوم، خودش شمارایی دوم است؛ و یک فضای گسستهٔ ناشمارا شمارایی دوم نیست.

پس اگر همهٔ اعداد حقیقی به‌عنوان شاخص مبدأها به کار رفته باشند، H شمارایی دوم نیست:

H is not second countable

۱۰. آیا H واقعاً منیفلد است؟

پاسخ به قراردادی بستگی دارد که برای تعریف منیفلد پذیرفته‌ایم.

اگر منیفلد فقط به معنای فضای محلی‌اقلیدسی باشد، آنگاه H یک منیفلد هموار یک‌بعدی است، زیرا هر نقطه همسایگی‌ای هم‌ریخت با ℝ دارد و نگاشت‌های گذار نیز هموارند.

اگر در تعریف منیفلد شرط هاسدورف بودن وجود داشته باشد، H منیفلد نیست؛ زیرا مبدأهای متفاوت را نمی‌توان با همسایگی‌های بازِ جدا تفکیک کرد.

اگر شرط شمارایی دوم نیز جزو تعریف باشد، این فضا با مبدأهای شاخص‌گذاری‌شده به‌وسیلهٔ ℝ از آن جهت نیز منیفلد استاندارد نیست.

پس تعبیر دقیق آن چنین است:

فضای H یک فضای هموارِ یک‌بعدی و محلی‌اقلیدسی است، اما یک منیفلد هموار استاندارد نیست؛ زیرا هاسدورف نیست و در نسخهٔ دارای ناشمارا مبدأ، شمارایی دوم نیز ندارد.

۱۱. تفاوت با خط دارای دو مبدأ

اگر فقط دو نسخه از صفر داشته باشیم، همان نمونهٔ مشهورِ «خط با دو مبدأ» به دست می‌آید. آن فضا نیز هاسدورف نیست، اما شمارایی دوم است.

در مسئلهٔ تصاویر، ظاهراً مبدأها با تمام aهای حقیقی شاخص‌گذاری شده‌اند. بنابراین این نسخه از خط دارای دو مبدأ گسترده‌تر است و می‌توان آن را «خط با ناشمارا مبدأ» نامید.

۱۲. برداشت شهودی

این فضا مانند رودی است که در همه‌جا یک بستر دارد، جز در سرچشمه. هنگامی که به عدد صفر می‌رسیم، به‌جای یک سرچشمه، ناشمارا سرچشمهٔ متمایز داریم. هر سرچشمه به‌تنهایی با ادامهٔ رود، خطی معمولی می‌سازد؛ اما دو سرچشمه را نمی‌توان از یکدیگر جدا کرد، زیرا هر همسایگیِ آن‌ها فوراً وارد همان بستر مشترک رود می‌شود.

نتیجه

مقصود اصلی یادداشت‌ها ساخت فضای زیر و بررسی ساختار هموار آن است:

H = ((ℝ − {0}) × {0}) ∪ {(0,a) | a ∈ ℝ}

چارت‌های مسئله به صورت زیرند:

ηₐ : Uₐ → ℝ

و نگاشت گذار هر دو چارت روی اشتراکشان، نگاشت همانی است:

ηᵦ ∘ ηₐ⁻¹ = idℝ−{0}

پس ساختار محلی و هموار کاملاً درست است؛ ولی جدایی سراسری از دست می‌رود. این مثال به‌خوبی نشان می‌دهد که محلی شبیه فضای اقلیدسی بودن، به‌تنهایی برای منیفلد استاندارد بودن کافی نیست.