ریاضیات

**مقدمات**

عنوان**

ساختار اطلس هموار و بررسی نگاشت‌های انتقال در فضای منشعب (خط با مبدأ چندگانه)

در مباحث پیشین، با ساختار «خط با دو مبدأ» و تعمیم آن به «خط با بی‌نهایت مبدأ» آشنا شدیم و دیدیم که چگونه یک فضا می‌تواند موضعاً اقلیدسی باشد ولی شرط هاسدورف را ارضا نکند.

تصاویر ارسال‌شده، گام پایانی و جمع‌بندی ساختاری این فضا را نشان می‌دهند؛ جایی که کلیهٔ چارت‌های ساخته‌شده در قالب یک اطلس کلی جمع‌آوری می‌شوند و رفتار نگاشت‌های انتقال میان این چارت‌ها به‌طور نهایی تعیین و تثبیت می‌گردد.

در این بخش، مجموعهٔ کل چارت‌ها معرفی شده و نگاشت انتقال میان هر دو چارت دلخواه مورد ارزیابی قرار می‌گیرد.

**بدنه**

۱. تعریف اطلس کلی فضا:

خانوادهٔ همهٔ چارت‌های موضعی روی فضای الحاقی H به‌صورت زیر مشخص می‌شود:

A = { (U₀, x₀), (U₁, x₁), (U₂, x₂), ... }

که در آن برای هر اندیس i و j، دامنه‌ها و نگاشت‌های چارت به‌صورت زیر عمل می‌کنند:

xᵢ : Uᵢ → ℝ

xⱼ : Uⱼ → ℝ

۲. بررسی نگاشت‌های انتقال میان چارت‌ها:

اشتراک دامنهٔ هر دو چارت متمایز مانند Uᵢ و Uⱼ برابر است با خط حقیقی منهای مبدأ:

Uᵢ ∩ Uⱼ = U - { (0, 0) }

تصویر این اشتراک تحت هر چارت، مجموعهٔ بازِ زیر در ℝ است:

xⱼ(Uᵢ ∩ Uⱼ) = ℝ - {0}

بنابراین نگاشت انتقال به‌صورت ترکیب نگاشت‌ها روی این مجموعهٔ باز تعریف می‌شود:

xᵢ ∘ xⱼ⁻¹ : ℝ - {0} → ℝ - {0}

برای هر مقدار ناصفر s ∈ ℝ - {0} داریم:

( xᵢ ∘ xⱼ⁻¹ )(s) = s

این نگاشت، نگاشت همانی روی ℝ - {0} است که بی‌نهایت‌بار مشتق‌پذیر و هموار (از کلاس C∞) است.

**نتیجه**

۱. مجموعهٔ A یک اطلس سازگار و هموار از ردهٔ C∞ روی فضا تشکیل می‌دهد.

۲. فضا در تمام نقاط خود موضعاً با بازه‌های باز در ℝ یکسان است و بعد توپولوژیک آن برابر ۱ است.

۳. با وجود برخورداری از یک اطلس هموار کامل، به‌دلیل انشعاب مبدأها و عدم امکان تفکیک آن‌ها با همسایگی‌های مجزا، فضا هاسدورف نبوده و یک منیفلد متعارف تشکیل نمی‌دهد.

**