ریاضیات

**مقدمات**

در مطالعهٔ مبانی منیفلدها و فضاهای موضعاً اقلیدسی، ساختن مثال‌های نقض به درک دقیق‌تر شرایط تعریف (مانند شرط هاسدورف و پایایی اطلس) کمک می‌کند.

بخش بالای صفحه، تکمیل برهان مثال «خط با دو مبدأ» است که نشان می‌دهد چرا اشتراک هر دو همسایگی از دو مبدأ ناتهی است.

بخش پایین صفحه، تعمیم این ایده به شمار نامتناهی از مبدأها (یا نقاط منشعب) را معرفی می‌کند؛ یعنی فضایی که از الحاق مجموعه‌ای از نقاط مانند

(0, n)

به خط حقیقی ساخته می‌شود.

U = { (s, 0) | s ∈ ℝ }

H = U ∪ { (0, n) | n ∈ ℕ }

**بدنه**

۱. تکمیل برهان عدم هاسدورف بودن خط با دو مبدأ (بالای صفحه):

فرض کنیم V یک همسایگی باز از (0, 0) و W یک همسایگی باز از (0, 1) باشد. با اعمال چارت‌های x و x₁، تصاویر این همسایگی‌ها یعنی x(V ∩ U) و x₁(W ∩ U₁) مجموعه‌هایی باز در ℝ هستند که شامل نقطهٔ صفرند.

چون هر مجموعهٔ باز در ℝ شامل بازه‌های باز حول صفر است، عددی ناصفر مانند a ≠ 0 وجود دارد به‌طوری که:

a ∈ x(V ∩ U) , a ∈ x₁(W ∩ U₁)

چون برای نقاط ناصفر هر دو چارت نگاشت همانی هستند، نقطهٔ متناظر با a در هر دو مجموعه یکسان است:

x⁻¹(a) = (a, 0) ∈ V ∩ U ⊆ V

x₁⁻¹(a) = (a, 0) ∈ W ∩ U₁ ⊆ W

در نتیجه نقطهٔ مشترک داریم:

(a, 0) ∈ V ∩ W ⇒ V ∩ W ≠ ∅

بنابراین هیچ دو همسایگیِ بازِ مجزا برای دو مبدأ وجود ندارد و فضا هاسدورف نیست.

۲. تعمیم به خط با بی‌نهایت مبدأ (پایین صفحه):

مجموعهٔ H با افزودن نقاط (0, n) برای هر n طبیعی (یا صحیح) به خط حقیقی تعریف می‌شود:

H = U ∪ { (0, n) | n ∈ ℕ }

برای هر n، دامنهٔ چارت Uₙ با جایگزینی مبدأ اصلی با نقطهٔ (0, n) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

Uₙ = ( U - { (0, 0) } ) ∪ { (0, n) }

چارت‌های متناظر xₙ به‌صورت زیر تعریف می‌شوند:

xₙ : Uₙ → ℝ

xₙ(0, n) = 0 , xₙ(s, 0) = s (s ≠ 0)

نگاشت‌های انتقال میان هر دو چارت xₘ و xₙ روی اشتراک دامنه‌ها (یعنی خط بدون مبدأ) برابر با نگاشت همانی است:

xₘ ∘ xₙ⁻¹ : ℝ - {0} → ℝ - {0} , s ↦ s

بنابراین خانوادهٔ چارت‌ها یک اطلس سازگار هموار (C∞) تشکیل می‌دهند و فضا موضعاً اقلیدسیِ یک‌بعدی است.

**نتیجه**

۱. در فضای خط با بی‌نهایت مبدأ نیز مشابه حالت دو مبدأ، هیچ جفت نقطه‌ای از میان مبدأهای متمایز (0, m) و (0, n) با همسایگی‌های بازِ مجزا جدا نمی‌شوند.

۲. این فضا موضعاً اقلیدسی و دارای اطلس هموار است، اما خاصیت هاسدورف را ارضا نمی‌کند.

۳. این تعمیم نشان می‌دهد که رفتارهای غیرهاسدورف می‌توانند با تعداد دلخواه (حتی نامتناهی) از نقاط غیرقابل تفکیک رخ دهند و این موضوع ضرورت قید صریح شرط هاسدورف در تعریف منیفلد را دوچندان می‌کند.