ریاضیات

۱. علت وجود چارت (مفهوم و ضرورت آن)

بسیاری از فضاهای هندسی در مقیاس کلی (سراسری)، ساختاری خمیده، پیچیده و نااقلیدسی دارند (مانند سطح کره یا چنبره) و نمی‌توان یک دستگاه مختصات یکپارچهٔ اقلیدسی را بر سراسر آن‌ها نشاند. چارت‌ها این دشواری را با نگاه موضعی برطرف می‌سازند.

علت‌های اصلی بهره‌گیری از چارت عبارتند از:

یک) انتقال حساب دیفرانسیل و انتگرال:
چارت‌ها پلی میان یک فضای خمیدهٔ انتزاعی و فضای تخت اقلیدسی پدید می‌آورند. با کمک چارت، می‌توان مفاهیمی چون مشتق‌پذیری، بردار مماس، میدان‌های برداری و حل معادلات دیفرانسیل را مستقیماً از فضای اقلیدسی به فضای منیفلد منتقل ساخت.

دو) نسبت دادن مختصات موضعی به نقاط:
چارت امکان شناسایی هر نقطه از یک ناحیهٔ باز را با یک چندتایی مرتب از اعداد حقیقی فراهم می‌آورد.

به بیان ریاضی، چارت یک جفت مرتب مانند (U, φ) است که در آن U یک مجموعهٔ باز از فضای M و φ نگاشتی دوسویی، پیوسته با معکوس پیوسته (هومئومورفیسم) به یک زیرمجموعهٔ باز از فضای اقلیدسی است:

(U, φ) : φ : U → V ⊆ ℝⁿ

۲. تعریف اطلس

چون یک چارت به‌تنهایی معمولاً نمی‌تواند تمام سطح منیفلد را بدون ایجاد تکینگی یا گسستگی پوشش دهد، نیازمند خانواده‌ای از چارت‌ها هستیم.

خانواده‌ای از چارت‌ها مانند {(U_α, φ_α)} را روی فضای M یک اطلس می‌نامند هرگاه دو شرط زیر برقرار باشد:

شرط اول (پوشش سراسری):
اجتماع تمامی مجموعه‌های باز U_α، کل فضای M را بپوشاند:

⋃ U_α = M

شرط دوم (سازگاری چارت‌ها در نواحی هم‌پوشان):
اگر دو چارت با یکدیگر اشتراک داشته باشند، نگاشت انتقال میان آن‌ها روی فضای اقلیدسی هموار (پیوسته یا مشتق‌پذیر) باشد:

U_α ∩ U_β ≠ ∅ ⇒ φ_β ∘ φ_α⁻¹ : φ_α(U_α ∩ U_β) → φ_β(U_α ∩ U_β)

این نگاشت‌های تغییر مختصات، سازگاری هندسی را در تمام فضای منیفلد تضمین می‌کنند.

۳. تعریف منیفلد (چندلایه)

یک منیفلد توپولوژیک nبُعدی، یک فضای توپولوژیک مانند M است که دارای سه ویژگی بنیادین باشد:

یک) اقلیدسیِ موضعی بودن (Locally Euclidean):
هر نقطهٔ m از M دارای همسایگی بازی مانند U است که با یک زیرمجموعهٔ باز از فضای اقلیدسی ℝⁿ هومئومورف باشد.

دو) هاسدورف بودن (Hausdorff / T₂):
برای هر دو نقطهٔ متمایز m₁ و m₂ در M، دو مجموعهٔ باز مجزا مانند V₁ و V₂ وجود داشته باشند که نقاط را از یکدیگر جدا سازند:

m₁ ≠ m₂ ∈ M ⇒ ∃ V₁, V₂ باز : m₁ ∈ V₁ , m₂ ∈ V₂ , V₁ ∩ V₂ = ∅

سه) شمارای دوم بودن (Second-Countable):
توپولوژی فضای M دارای پایه‌ای شمارا از مجموعه‌های باز باشد؛ شرطی که از رفتارهای آسیب‌شناختی و ابعاد نامتعارف جلوگیری می‌کند.

اگر نگاشت‌های انتقال در اطلس پوشانندهٔ منیفلد از رتبهٔ C^∞ (بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر) باشند، منیفلد را منیفلد هموار (دیفرانسیل‌پذیر) می‌نامند.