ریاضیات

توپولوژیِ القایی روی چندلایهٔ M و بررسیِ شرط T₁

در این بحث، چندلایهٔ M به‌عنوان زیرمجموعه‌ای از یک فضای توپولوژیکِ بزرگ‌تر، مثلاً فضای اقلیدسی، در نظر گرفته می‌شود و توپولوژیِ روی M از توپولوژیِ فضای مادر القا می‌گردد.

توپولوژیِ القایی روی M

اگر M زیرمجموعه‌ای از فضای توپولوژیک X باشد، مجموعهٔ U زیرمجموعهٔ M در توپولوژیِ القایی باز است هرگاه بازِ V در X وجود داشته باشد به‌طوری‌که:

U = M ∩ V

پس توپولوژیِ M از راهِ اشتراک‌گرفتنِ بازهای X با M به دست می‌آید.

شرط T₁

فضای توپولوژیک M را T₁ می‌نامیم هرگاه برای هر دو نقطهٔ متمایز x و y در M، مجموعه‌ای باز وجود داشته باشد که x را دربرگیرد ولی y را دربرنگیرد.

x ≠ y ⇒ ∃ U ∈ τ_M : x ∈ U و y ∉ U

صورتِ معادل و بسیار مهمِ این شرط آن است که هر تک‌نقطه‌ای در M بسته باشد:

برای هر x ∈ M، مجموعهٔ {x} بسته است.

چرا M در توپولوژیِ القایی، T₁ است؟

اگر فضای مادر X، مثلاً فضای اقلیدسی، T₁ باشد، آنگاه هر زیرمجموعهٔ آن با توپولوژیِ القایی نیز T₁ خواهد بود.

زیرا برای هر x ∈ M، چون X فضای T₁ است، مجموعهٔ تک‌نقطه‌ای {x} در X بسته است. از سوی دیگر، بسته‌های M از اشتراکِ بسته‌های X با M به دست می‌آیند؛ بنابراین:

{x}_M = M ∩ {x}_X

و در نتیجه، {x} در M نیز بسته است. پس M خاصیت T₁ را ارضا می‌کند.

نتیجهٔ اصلی

هرگاه M با توپولوژیِ القایی، زیرمجموعه‌ای از یک فضای T₁ مانند ℝⁿ باشد، خودِ M نیز فضای T₁ است:

X فضای T₁ و M ⊆ X ⇒ M با توپولوژیِ القایی، T₁ است.

بنابراین در مورد چندلایه‌های معمولِ توپولوژیک یا هموار که به‌صورت زیرمجموعه‌ای از فضای اقلیدسی در نظر گرفته می‌شوند، شرط T₁ به‌طور طبیعی برقرار است.