ریاضیات

جرح و تعدیل، تعلیل و تکمیلِ مطالب

اصلِ مسیرِ درس درست است؛ ولی برای آن‌که تعریف‌ها از حیثِ رده‌ای و مدولی بی‌خلل شوند، چند اصلاح و دقت لازم است. در این‌جا نخست مواردِ نیازمندِ تعدیل را می‌آوریم، سپس دلیل و صورتِ کامل‌ترِ مطلب را بیان می‌کنیم.

۱. تعدیلِ تعریفِ دستگاه مستقیم

گفته شد که I یک مجموعهٔ مرتبِ جزئیِ جهت‌دار است. این بیان برای تعریفِ متعارفِ «دستگاه مستقیمِ اندیس‌دار» درست است؛ اما باید میان دو سطح فرق گذاشت:

• در بیانِ کلاسیکِ جبر، I معمولاً یک مجموعهٔ مرتبِ جهت‌دار است.

• در بیانِ عام‌ترِ نظریهٔ رده‌ها، دستگاه مستقیم می‌تواند یک تابع‌گر از هر ردهٔ کوچک به ردهٔ مدول‌ها باشد؛ در این حالت، لازم نیست ردهٔ اندیس الزاماً از یک ترتیبِ جهت‌دار آمده باشد.

پس عبارتِ دقیق‌تر چنین است:

در درسِ مدول‌ها، مقصود از دستگاه مستقیم معمولاً خانواده‌ای اندیس‌دار بر یک مجموعهٔ مرتبِ جهت‌دار است؛ اما در زبانِ رده‌ای، این ساخت نمونه‌ای از یک نمودار و حدّ مستقیم نمونه‌ای از هم‌حد است.

تعلیل

جهت‌دار بودن تضمین می‌کند که هر دو مرحلهٔ α و β بتوانند در مرحله‌ای بالاتر، مانند γ، با هم مقایسه و سازگار شوند:

α ≤ γ و β ≤ γ

بدون این شرط، هنوز می‌توان از هم‌حد سخن گفت، ولی نامِ دقیقِ ساخت لزوماً «حدّ مستقیمِ یک دستگاه جهت‌دار» نخواهد بود.

۲. تعدیلِ شرط‌های نگاشتِ گذار

شرط‌های دستگاه مستقیم چنین‌اند:

φ_αα = ۱_Aα

φ_βγ ∘ φ_αβ = φ_αγ α ≤ β ≤ γ

این قسمت درست است؛ اما یک توجهِ نوشتاری لازم دارد: φ_αβ فقط وقتی تعریف شده است که:

α ≤ β

پس نباید نمادِ φ_αβ را برای دو اندیسِ نامقایسه‌پذیر به کار برد.

تعلیل

در دستگاه مستقیم، نگاشت‌ها جهت دارند: از مرحلهٔ پایین‌تر به مرحلهٔ بالاتر. اگر α و β با هم قابلِ مقایسه نباشند، دستگاه لزوماً نگاشتی مستقیم از A_α به A_β به ما نمی‌دهد؛ بلکه جهت‌دار بودن می‌گوید هر دو را می‌توان به مرحله‌ای مشترک برد.

۳. تعدیلِ تعریفِ حدّ مستقیم

گفته شد حدّ مستقیم «مدولی است که مراحل را در خود گرد می‌آورد». این بیان شهودی و سودمند است، ولی به‌تنهایی تعریف نیست. تعریفِ کامل، همان خاصیت جهانی است.

برای دستگاه:

(A_α , φ_αβ)

حدّ مستقیم، مدولی مانند A همراه با خانواده‌ای از نگاشت‌هاست:

ψ_α : A_α → A

به‌طوری‌که:

ψ_α = ψ_β ∘ φ_αβ α ≤ β

و برای هر R-مدول B و هر خانوادهٔ سازگار:

ξ_α : A_α → B

ξ_α = ξ_β ∘ φ_αβ

دقیقاً یک نگاشت وجود دارد:

ξ : A → B

که:

ξ ∘ ψ_α = ξ_α

تکمیل

حدّ مستقیم تا هم‌ریختیِ یکتا تعیین می‌شود، نه به معنای برابریِ لفظی. اگر A و A′ هر دو این خاصیت جهانی را داشته باشند، آنگاه هم‌ریختیِ یکتایی میان آن‌ها هست:

A ≅ A′

این یکتاییِ تا هم‌ریختی، قاعده‌ای بنیادی در تمام تعریف‌های جهانیِ نظریهٔ رده‌هاست.

۴. جرحِ یک تعبیرِ احتمالا گمراه‌کننده: حدّ مستقیم همیشه اجتماع نیست

این سخن که حدّ مستقیم همان اجتماع است، فقط در وضعیتی ویژه درست است: هنگامی که همهٔ A_αها واقعاً زیرمدول‌های یک مدول مشترک باشند و نگاشت‌های گذار، نگاشت‌های شمول باشند.

A_α ⊆ A_β α ≤ β

در این حالت:

lim→ A_α ≅ ⋃_α∈I A_α

اما در حالتِ عمومی، A_αها ممکن است اصلاً زیرمدول‌های یک مدول واحد نباشند و نگاشت‌های φ_αβ نیز ممکن است نه تزریقی باشند و نه شمول. پس در حالت عمومی، حدّ مستقیم اجتماع نیست، بلکه خارج‌قسمتی از مجموع مستقیم است.

صورتِ درستِ ساخت جبری

lim→ A_α ≅ (⊕_α∈I A_α) ⁄ N

که N زیرمدولی است مولّدِ روابط:

ι_β(φ_αβ(a)) − ι_α(a)

در این‌جا:

a ∈ A_α و α ≤ β

و ι_α، نگاشتِ طبیعیِ ورودِ A_α به مجموع مستقیم است.

تعلیل

رابطهٔ بالا می‌گوید: عنصر a در مرحلهٔ α و تصویرِ آن در مرحلهٔ β، باید در حدّ مستقیم یک عنصر تلقی شوند. بنابراین حدّ مستقیم، عناصر را صرفاً کنار هم نمی‌چیند؛ بلکه آن‌ها را بر اساسِ نگاشت‌های گذار شناسایی می‌کند.

۵. تکمیلِ مثالِ زنجیرهٔ صعودی

اگر:

A_۱ ⊆ A_۲ ⊆ A_۳ ⊆ ⋯

باشد، حدّ مستقیم همان اجتماع است. ولی توجه شود که این اجتماع واقعاً یک زیرمدول است.

تعلیل

اگر x در A_m و y در A_n باشند، با انتخاب:

r = max(m , n)

داریم:

x , y ∈ A_r

پس:

x + y ∈ A_r

و بنابراین:

x + y ∈ ⋃_n≥۱ A_n

همین استدلال در حالتِ یک مجموعهٔ مرتبِ جهت‌دار نیز برقرار است: برای دو عنصر از دو مرحلهٔ متفاوت، مرحله‌ای بالاتر و مشترک پیدا می‌شود و بسته بودنِ اجتماع تحت جمع نتیجه می‌گردد.

۶. تعدیلِ هم‌ریختیِ طبیعیِ A و Hom_R(R , A)

رابطهٔ زیر درست است، ولی باید نوعِ مدول‌ها دقیق تعیین شود:

A ≅ Hom_R(R , A)

اگر A یک R-مدول چپ و R نیز R-مدول چپِ طبیعی باشد، نگاشتِ طبیعی از A به Hom_R(R , A) چنین است:

a ↦ f_a

f_a(r) = ra

و نگاشتِ وارون چنین است:

f ↦ f(۱)

تعلیلِ خطی بودن و وارونی

برای هر r و s از R:

f_a(rs) = rsa = r(sa) = r f_a(s)

پس f_a یک هم‌ریختیِ R-مدولی است. از سوی دیگر، برای هر هم‌ریختی f داریم:

f(r) = f(r·۱) = rf(۱)

پس f به‌طور کامل با f(۱) تعیین می‌شود.

توجه

در حالتِ مدول‌های راست، صورتِ متناظر باید با دقتِ چپ و راست نوشته شود. اگر R جابجایی‌پذیر نباشد، جابه‌جا کردنِ بی‌دلیلِ طرفِ عملِ اسکالر می‌تواند نادرست باشد.

۷. تعلیلِ تصویری بودنِ R

از هم‌ریختی طبیعیِ بالا داریم:

Hom_R(R , −) ≅ ۱_R-Mod

تابع‌گر همانی بر ردهٔ R-مدول‌ها دقیق است؛ پس تابع‌گر Hom_R(R , −) نیز دقیق است. اکنون با معیار زیر:

P تصویری است ⇔ Hom_R(P , −) دقیق است

نتیجه می‌گیریم:

R تصویری است

این استدلال صحیح‌تر و کوتاه‌تر از آن است که بخواهیم برای هر نگاشت پوشا، بالابری را جداگانه بسازیم.

۸. تکمیلِ اثباتِ تصویری بودنِ مدول آزاد

هر مدول آزاد F با پایهٔ S چنین شکلی دارد:

F ≅ ⊕_s∈S R

از آن‌جا که هر نسخهٔ R تصویری است و مجموع مستقیمِ دلخواهی از مدول‌های تصویری نیز تصویری است، نتیجه می‌گیریم:

هر مدول آزاد تصویری است

تعلیلِ جمع مستقیم

اگر برای هر s، نگاشتی از نسخهٔ sامِ R به مقصد داده شده باشد، خاصیتِ جهانیِ مجموع مستقیم این نگاشت‌ها را به یک نگاشت از کلِّ مجموع مستقیم تبدیل می‌کند. همین ویژگی سبب می‌شود بالابری‌های جداگانهٔ مؤلفه‌ها، به یک بالابریِ واحد برای کلِّ مدول آزاد جمع شوند.

۹. تکمیلِ معیارِ مدول تصویری

باید با دقت گفت:

Hom_R(P , −)

برای هر P همواره چپ‌دقیق است. یعنی اگر:

۰ → A → B → C

دقیق باشد، آنگاه:

۰ → Hom_R(P , A) → Hom_R(P , B) → Hom_R(P , C)

نیز دقیق است.

اما پوشا بودنِ نگاشتِ آخر، در حالتِ کلی تضمین نشده است. مدول P تصویری است اگر و تنها اگر برای هر دنبالهٔ کامل کوتاه:

۰ → A → B → C → ۰

دنبالهٔ حاصل نیز در انتها پوشا شود:

Hom_R(P , B) → Hom_R(P , C) → ۰

این پوشا بودن دقیقاً معادلِ امکانِ بالابردنِ هر نگاشت از P به C از میان B است.

۱۰. جدولِ توجهاتِ نهایی

خلاصه آن‌که دستگاه مستقیم، «سیرِ سازگارِ مراحل» است و حدّ مستقیم، «وحدتِ آن سیر». مدول تصویری نیز آن است که در برابرِ پوشاها راهِ بالاروی دارد. دقت در جهتِ نگاشت‌ها، شرطِ جهت‌داری، تمایزِ اجتماع از خارج‌قسمت، و تمایزِ مدول چپ از راست، ستون‌های استواریِ این بحث‌اند.