ریاضیات

موضوعِ درس

این صفحات شاملِ دو موضوعِ اصلی از جبر همولوژی و نظریهٔ مدول‌هاست:

1. دستگاه مستقیم و حدّ مستقیمِ مدول‌ها.
2. مدول‌های تصویری و هم‌ریختیِ طبیعیِ Hom_R(R , A).

موضوع نخست، از خانواده‌ای از مدول‌ها سخن می‌گوید که مرحله‌به‌مرحله با نگاشت‌های سازگار به هم پیوند می‌خورند. موضوع دوم، توضیح می‌دهد که چرا R به‌عنوان مدول روی خودش تصویری است و از آن، تصویری بودنِ مدول‌های آزاد نتیجه می‌شود.

مرورِ دستگاه مستقیم

فرض کنید I یک مجموعهٔ مرتبِ جهت‌دار باشد. جهت‌دار بودن یعنی برای هر دو اندیس α و β، اندیسی مانند γ وجود داشته باشد که:

α ≤ γ و β ≤ γ

یک دستگاه مستقیم از R-مدول‌ها، خانواده‌ای از مدول‌هاست:

(A_α)_α∈I

همراه با نگاشت‌های گذار:

φ_αβ : A_α → A_β α ≤ β

این نگاشت‌ها باید دو شرط را رعایت کنند:

φ_αα = ۱_Aα

φ_βγ ∘ φ_αβ = φ_αγ α ≤ β ≤ γ

پس راهِ انتقالِ یک عنصر از مرحلهٔ α به مرحلهٔ γ، مستقل از انتخابِ مرحلهٔ میانی β است.

مرورِ حدّ مستقیم

حدّ مستقیمِ این دستگاه، مدولی مانند A است که همراه با نگاشت‌هایی از تمام مراحل به آن می‌آید:

ψ_α : A_α → A

و این نگاشت‌ها با دستگاه سازگارند:

ψ_α = ψ_β ∘ φ_αβ α ≤ β

حدّ مستقیم را چنین نشان می‌دهیم:

A = lim→ A_α

یا:

A = colim A_α

معنای این ساخت آن است که هر عنصر از A_α را با تصویرش در مراحل بعدی یکی می‌شماریم. حدّ مستقیم، محلّ گردآمدنِ تمام مراحلِ دستگاه، تحتِ این هم‌ارزیِ سازگار است.

خاصیت جهانیِ حدّ مستقیم

اگر B یک R-مدول باشد و خانواده‌ای از نگاشت‌های سازگار داشته باشیم:

ξ_α : A_α → B

ξ_α = ξ_β ∘ φ_αβ

آنگاه دقیقاً یک هم‌ریختی وجود دارد:

ξ : lim→ A_α → B

که برای هر α داشته باشیم:

ξ ∘ ψ_α = ξ_α

این «یکتایی» بخش بنیادیِ تعریف است. ممکن است مدولی دیگر نیز همهٔ A_αها را در خود جای دهد، اما حدّ مستقیم با این خاصیتِ عبورِ یکتا شناخته می‌شود.

مثالِ مهم

اگر زنجیره‌ای صعودی از زیرمدول‌های یک مدول M داشته باشیم:

A_۱ ⊆ A_۲ ⊆ A_۳ ⊆ ⋯

و نگاشت‌های گذار، نگاشت‌های شمول باشند، آن‌گاه حدّ مستقیم همان اجتماعِ آن‌هاست:

lim→ A_n ≅ ⋃_n≥۱ A_n

این مثال، بهترین تصویر ذهنی از حدّ مستقیم است: هر مرحله در مرحلهٔ بعد می‌نشیند و سرانجام، اجتماعِ همهٔ مراحل حاصل می‌شود.

مرورِ مدول تصویری

یک R-مدول چپ P را تصویری می‌نامیم، اگر برای هر هم‌ریختیِ پوشا:

f : B → C

و هر هم‌ریختی:

g : P → C

هم‌ریختیِ بالابرنده‌ای وجود داشته باشد:

g̃ : P → B

به‌طوری که:

f ∘ g̃ = g

یعنی نگاشتِ g از P به C، از نگاشت پوشای f عبور می‌کند و به B بالا می‌رود.

نکتهٔ اصلی دربارهٔ R

برای هر R-مدول چپ A، یک هم‌ریختی طبیعی داریم:

A ≅ Hom_R(R , A)

عنصر a از A، به هم‌ریختیِ زیر متناظر است:

f_a(r) = ra

و در جهت عکس، هر هم‌ریختی f از R به A را با مقدار آن بر واحدِ R بازمی‌شناسیم:

f ↦ f(۱)

زیرا هر r از R چنین عمل می‌کند:

f(r) = f(r·۱) = rf(۱)

پس تابع‌گر Hom_R(R , −) با تابع‌گر همانی هم‌ریختِ طبیعی است؛ بنابراین دقیق است. از معیارِ تصویری بودن نتیجه می‌شود:

R یک R-مدول تصویری است

و چون هر مدول آزاد، مجموع مستقیمِ نسخه‌هایی از R است، هر مدول آزاد نیز تصویری است.

نکته‌ها

• دستگاه مستقیم با حدّ مستقیم یکی نیست.

  دستگاه مستقیم، دادهٔ اولیه، یعنی مدول‌ها و نگاشت‌های گذار است؛ حدّ مستقیم، شیئی است که از این داده ساخته یا با خاصیت جهانی تعیین می‌شود.

• جهت‌دار بودنِ I ضروری است.

  صرفِ مرتبِ جزئی بودن کافی نیست؛ باید دو مرحلهٔ دلخواه امکانِ رسیدن به مرحله‌ای مشترک را داشته باشند.

• حدّ مستقیم در ردهٔ مدول‌ها یک خارج‌قسمت است.

  ابتدا مجموع مستقیم را می‌گیریم، سپس هر عنصر را با تصویرش در مراحل بالاتر هم‌ارز می‌کنیم.

• در زنجیره‌های شمولی، حدّ مستقیم همان اجتماع است.

  اما اگر نگاشت‌های گذار شمول نباشند، نمی‌توان بی‌دقت حدّ مستقیم را «اجتماع» نامید.

• هم‌ریختی A با Hom_R(R , A) وابسته به واحدِ حلقه است.

  در این بحث، R حلقه‌ای یک‌دار و A یک R-مدول چپ است.

• تصویری بودن، آزاد بودن نیست.

  هر مدول آزاد تصویری است؛ ولی ممکن است مدولی تصویری باشد و آزاد نباشد. مدول تصویری، جمعوند مستقیمِ یک مدول آزاد است.

توجهاتِ ضروری

1. در رابطهٔ ترکیبِ نگاشت‌های گذار، ترتیب را دقیق نگاه دارید: نخست φ_αβ اعمال می‌شود، سپس φ_βγ.

2. در تعریف حدّ مستقیم، شرط سازگاریِ خانوادهٔ ψ_α چنین است:

   ψ_α = ψ_β ∘ φ_αβ

3. برای نشان دادنِ تصویری بودنِ R، کافی نیست بگوییم Hom_R(R , A) با A برابر است؛ باید گفت میان آن‌ها هم‌ریختی طبیعی وجود دارد، یعنی این تناظر با تمام هم‌ریختی‌های مدولی سازگار است.

4. تابع‌گر Hom_R(P , −) همواره چپ‌دقیق است؛ تصویری بودن P دقیقاً به این معناست که این تابع‌گر، پوشا بودن را نیز حفظ کند و در نتیجه دقیق باشد.

5. نباید «حدّ مستقیم» را با «حدّ معکوس» خلط کرد: در حدّ مستقیم، نگاشت‌ها رو به جلو هستند؛ در حدّ معکوس، نگاشت‌ها رو به عقب می‌روند.

خلاصهٔ نهایی

دستگاه مستقیم، شبکه‌ای از مدول‌ها و نگاشت‌های سازگار است؛ حدّ مستقیم، مقصدِ نهاییِ این شبکه و هم‌حدِّ آن در ردهٔ مدول‌هاست. در سوی دیگر، هم‌ریختی طبیعیِ A با Hom_R(R , A) نشان می‌دهد که R مدولی تصویری است و از این‌جا، تصویری بودنِ تمام مدول‌های آزاد آشکار می‌شود.