ریاضیات

دستگاه‌های مستقیم و حدّ مستقیمِ مدول‌ها

سه تصویر نخست، آغازِ بحثِ دستگاه مستقیم و حدّ مستقیم است. تصاویر چهارم و پنجم نیز به یادآوریِ مدول تصویری، هم‌ریختیِ طبیعیِ A با Hom_R(R , A)، و دقیق بودنِ تابع‌گر Hom_R(R , −) اشاره دارند.

۱. دستگاه مستقیم چیست؟

فرض کنید I یک مجموعهٔ مرتبِ جزئی باشد. یک دستگاه مستقیم از R-مدول‌ها شاملِ داده‌های زیر است:

• خانواده‌ای از R-مدول‌ها:

(A_α)_α∈I

• برای هر دو اندیس α و β که α ≤ β باشد، یک هم‌ریختیِ گذار:

φ_αβ : A_α ⟶ A_β

این نگاشت‌ها باید با ترتیبِ اندیس‌ها سازگار باشند.

۲. شرط‌های سازگاری

شرط نخست می‌گوید نگاشتِ یک مدول به خودش، همانی است:

φ_αα = ۱_Aα

شرط دوم می‌گوید اگر:

α ≤ β ≤ γ

باشد، رفتن از A_α به A_γ به‌طور مستقیم، با رفتنِ مرحله‌به‌مرحله از راهِ A_β یکی است:

φ_βγ ∘ φ_αβ = φ_αγ

پس نمودار زیر جابجایی‌پذیر است:

A_α ──φ_αβ──→ A_β

│ │

φ_αγ φ_βγ

↓ ↓

A_γ =============== A_γ

در زبان ساده: هرچه از یک مرحله به مرحلهٔ بزرگ‌تر می‌رویم، راه‌های گوناگون نباید جواب‌های ناسازگار بسازند.

۳. حدّ مستقیم

حدّ مستقیمِ دستگاه بالا، R-مدولی مانند A است که آن را چنین می‌نویسند:

A = lim→ A_α

یا به صورت رایج‌تر:

A = colim A_α

این مدول همراه با خانواده‌ای از هم‌ریختی‌هاست:

ψ_α : A_α ⟶ A

که برای هر α ≤ β باید شرط سازگاریِ زیر را داشته باشند:

ψ_α = ψ_β ∘ φ_αβ

یعنی اگر عنصری را نخست از A_α به A_β ببریم و سپس وارد حدّ مستقیم کنیم، همان نتیجه‌ای را می‌گیریم که با ورودِ مستقیم آن عنصر از A_α به A حاصل می‌شود.

۴. خاصیت جهانیِ حدّ مستقیم

این بخش، گوهرِ تعریف است. فرض کنید B یک R-مدول دیگر باشد و برای هر α نگاشتی داشته باشیم:

ξ_α : A_α ⟶ B

به شرط آن‌که این نگاشت‌ها با نگاشت‌های گذار سازگار باشند:

ξ_α = ξ_β ∘ φ_αβ

آنگاه دقیقاً یک هم‌ریختی وجود دارد:

ξ : A ⟶ B

که برای هر α داشته باشیم:

ξ ∘ ψ_α = ξ_α

پس هر خانوادهٔ سازگار از نگاشت‌ها به B، به‌طور یکتا از حدّ مستقیم عبور می‌کند.

نمودار اصلی چنین معنا می‌دهد:

A_α ──ψ_α──→ lim→ A_α

│ │ ξ

ξ_α ↓

↓ B

۵. مثالِ ساده: زنجیرهٔ صعودیِ زیرمدول‌ها

فرض کنید A یک R-مدول باشد و زنجیره‌ای صعودی از زیرمدول‌های آن داشته باشیم:

A_۱ ⊆ A_۲ ⊆ A_۳ ⊆ …

برای هر n ≤ m، نگاشتِ گذار همان شمول طبیعی است:

φ_nm : A_n ⟶ A_m

در این حالت، حدّ مستقیم دقیقاً اجتماعِ این زیرمدول‌هاست:

lim→ A_n = ⋃_n∈ℕ A_n

زیرا هر عنصرِ حدّ مستقیم، در یکی از مراحل A_n ظاهر می‌شود.

مثالِ عینی

در گروه جمعیِ اعداد گویا، زیرگروه‌های زیر را در نظر بگیرید:

A_n = ۱⁄۲ⁿ ℤ

پس:

ℤ ⊆ ۱⁄۲ ℤ ⊆ ۱⁄۴ ℤ ⊆ ۱⁄۸ ℤ ⊆ …

حدّ مستقیم این دستگاه، اجتماع همهٔ این زیرگروه‌هاست:

lim→ A_n = { m⁄۲ⁿ | m ∈ ℤ ، n ∈ ℕ }

یعنی گروهِ تمام کسرهایی که مخرجشان توانی از ۲ است.

۶. ساختِ حدّ مستقیم از مجموع مستقیم

در ردهٔ مدول‌ها، حدّ مستقیم را می‌توان به‌صورت صریح ساخت. ابتدا مجموع مستقیم همهٔ مدول‌ها را می‌گیریم:

⊕_α∈I A_α

سپس روابطِ سازگاری را تحمیل می‌کنیم. برای هر α ≤ β و هر a در A_α، باید عنصر a در مرحلهٔ α با تصویرش در مرحلهٔ β یکی شمرده شود:

a در A_α ∼ φ_αβ(a) در A_β

به بیان جبری، زیرمدولی N را در مجموع مستقیم در نظر می‌گیریم که با تمام عناصر زیر تولید می‌شود:

ι_β(φ_αβ(a)) − ι_α(a)

آن‌گاه:

lim→ A_α ≅ (⊕_α∈I A_α) ⁄ N

بنابراین حدّ مستقیم، مجموع مستقیمِ همهٔ مراحل است، با این قید که عنصر و تصویرِ بعدیِ همان عنصر را همسان بشماریم.

۷. ارتباط با مدول تصویری و Hom_R(R , −)

تصاویر چهارم و پنجم یادآوری می‌کنند که R، به عنوان R-مدول، تصویری است و برای هر R-مدول A یک هم‌ریختی طبیعی داریم:

A ≅ Hom_R(R , A)

این تناظر به‌وسیلهٔ فرستادنِ هر عنصر a از A به هم‌ریختیِ زیر ساخته می‌شود:

r ⟼ ra

در جهتِ معکوس، هر هم‌ریختی از R به A با مقدارش روی ۱ تعیین می‌شود:

f ⟼ f(۱)

پس تابع‌گر زیر با تابع‌گر همانی هم‌ریختِ طبیعی است:

Hom_R(R , −) ≅ ۱

از این رو دقیق است و نتیجه می‌گیریم:

R یک R-مدول تصویری است

و به دنبال آن، هر مدول آزاد نیز تصویری خواهد بود.

جمع‌بندی

پس حدّ مستقیم، افقِ مشترکِ یک زنجیره از مدول‌هاست: هر مرحله سهم خویش را می‌آورد، نگاشت‌های گذار پیوندِ مراحل را نگاه می‌دارند، و حدّ مستقیم همهٔ این پاره‌ها را در یک کلّ سازگار گرد می‌آورد.