ریاضیات

دنباله‌های کامل، دنبالهٔ کامل کوتاه، و شکافتن

از میان پنج تصویر، بخش‌های خوانا دربارهٔ دنبالهٔ کامل، خارج‌قسمت‌ها و دنبالهٔ کاملِ کوتاهِ شکافته است. تصاویر سوم و چهارم بسیار محو هستند؛ بنابراین بازنویسیِ زیر بر پایهٔ عبارت‌های خوانای تصاویر اول، دوم و پنجم و ساختار استاندارد بحث تنظیم شده است.

۱. دنبالهٔ کامل چیست؟

یک دنباله از R-مدول‌ها و هم‌ریختی‌ها را در نظر بگیرید:

… ⟶ A ⟶ B ⟶ C ⟶ …

این دنباله را در مدولِ میانیِ B کامل می‌نامیم، هرگاه تصویرِ نگاشتِ واردشونده به B، دقیقاً با هستهٔ نگاشتِ خارج‌شونده از B یکسان باشد.

Im f = Ker g

که در آن:

A ──f──→ B ──g──→ C

معنای این تساوی روشن است: هر عضوی از B که تحت g به صفر می‌رود، باید دقیقاً از راه f از عضوی از A آمده باشد؛ نه چیزی کمتر و نه چیزی بیشتر.

پس کامل بودن در B، این دو مفهوم را به هم پیوند می‌دهد:

• عناصرِ حاصل از A در B؛ یعنی تصویرِ f.
• عناصرِ B که در C ناپدید می‌شوند؛ یعنی هستهٔ g.

۲. شرطِ لازم در هر دنبالهٔ کامل

اگر دنباله در B کامل باشد، ترکیب دو نگاشتِ پیاپی صفر است:

g ∘ f = ۰

زیرا هر عنصرِ تصویرِ f در هستهٔ g قرار دارد.

اما عکسِ این سخن همواره درست نیست. صفر بودنِ ترکیب فقط می‌گوید:

Im f ⊆ Ker g

برای کامل بودن باید تساوی برقرار شود:

Im f = Ker g

مثال

در ردهٔ ℤ-مدول‌ها، دنبالهٔ زیر را در نظر بگیرید:

ℤ ──×۲──→ ℤ ──mod ۲──→ ℤ₂

نگاشت نخست هر عدد صحیح را دو برابر می‌کند و نگاشت دوم، باقیماندهٔ تقسیم بر ۲ را می‌گیرد.

تصویرِ نگاشت نخست، مجموعهٔ اعداد زوج است:

Im(×۲) = ۲ℤ

هستهٔ نگاشتِ پیمانهٔ ۲ نیز دقیقاً اعداد زوج است:

Ker(mod ۲) = ۲ℤ

پس دنباله در ℤ میانی کامل است.

۳. دنبالهٔ کامل کوتاه

دنبالهٔ زیر را یک دنبالهٔ کامل کوتاه می‌نامند:

۰ ⟶ A ──f──→ B ──g──→ C ⟶ ۰

کامل بودن این دنباله، سه نتیجهٔ هم‌زمان دارد:

Ker f = ۰

Im f = Ker g

Im g = C

بنابراین:

• نگاشت f یک‌به‌یک است.
• نگاشت g پوشا است.
• A درون B مانند یک زیرمدول می‌نشیند.
• با خارج‌قسمت گرفتن از آن زیرمدول، C به دست می‌آید.

به بیان هم‌ریختی:

A ≅ Im f

C ≅ B ⁄ Im f

پس دنبالهٔ کامل کوتاه، مدول B را همچون بسطی از C به‌وسیلهٔ A نشان می‌دهد: A در B حضور دارد و آنچه پس از حذف A از B می‌ماند، C است.

مثالِ بنیادی از دنبالهٔ کامل کوتاه

۰ ⟶ ℤ ──×۲──→ ℤ ──mod ۲──→ ℤ₂ ⟶ ۰

در این مثال:

• ضرب در ۲ یک‌به‌یک است.
• نگاشت پیمانهٔ ۲ پوشا است.
• تصویر ضرب در ۲، همان هستهٔ پیمانهٔ ۲ است.

بنابراین، ℤ₂ از خارج‌قسمت گرفتن ℤ بر زیرمدولِ اعداد زوج به دست می‌آید:

ℤ₂ ≅ ℤ ⁄ ۲ℤ

۴. شکافتنِ دنبالهٔ کامل کوتاه

دنبالهٔ کامل کوتاه زیر را در نظر بگیرید:

۰ ⟶ A₁ ──i──→ B ──p──→ A₂ ⟶ ۰

این دنباله را شکافته می‌گوییم، اگر یکی از دو وضعیت معادلِ زیر برقرار باشد.

حالت نخست: نگاشتی از A₂ به B وجود داشته باشد که مقطعی برای p باشد:

s : A₂ ⟶ B

p ∘ s = ۱₍A₂₎

یعنی هر عنصرِ A₂ را بتوان به‌گونه‌ای در B بالا برد که پس از اعمال p، دوباره همان عنصر به دست آید.

حالت دوم: نگاشتی از B به A₁ وجود داشته باشد که بازگشتی برای i باشد:

r : B ⟶ A₁

r ∘ i = ۱₍A₁₎

در این حالت، زیرمدولِ A₁ در B دارای مکمل است؛ یعنی B واقعاً به دو بخش مستقل تجزیه می‌شود:

B ≅ A₁ ⊕ A₂

تصویرِ شهودیِ شکافتن

در هر دنبالهٔ کامل کوتاه، می‌دانیم که A₁ در B قرار دارد و با خارج‌قسمت گرفتن از آن، A₂ حاصل می‌شود. اما ممکن است B پیچیده‌تر از جمع مستقیمِ آن دو باشد.

اگر دنباله شکافته باشد، این پیچیدگی از میان می‌رود و B دقیقاً به صورت جمع مستقیمِ دو جزء درمی‌آید:

B ≅ A₁ ⊕ A₂

پس «شکافتن» یعنی بسط، بسطی بدیهی باشد و جزء پنهانی یا درهم‌تنیدگیِ تازه‌ای میان A₁ و A₂ باقی نماند.

۵. مثالِ شکافته

۰ ⟶ ℤ ──i──→ ℤ ⊕ ℤ₂ ──p──→ ℤ₂ ⟶ ۰

که در آن:

i(n) = (n , ۰)

p(n , x) = x

یک مقطع برای p چنین است:

s : ℤ₂ ⟶ ℤ ⊕ ℤ₂

s(x) = (۰ , x)

اکنون:

p ∘ s = ۱₍ℤ₂₎

پس دنباله شکافته است؛ و از آغاز نیز آشکارا داریم:

ℤ ⊕ ℤ₂ ≅ ℤ ⊕ ℤ₂

۶. مثالِ کامل ولی ناشکافته

دنبالهٔ پیشین را دوباره در نظر بگیرید:

۰ ⟶ ℤ ──×۲──→ ℤ ──mod ۲──→ ℤ₂ ⟶ ۰

این دنباله کامل کوتاه است، اما شکافته نیست. اگر شکافته بود، باید می‌داشتیم:

ℤ ≅ ℤ ⊕ ℤ₂

ولی این دو ℤ-مدول هم‌ریخت نیستند؛ زیرا ℤ هیچ عنصر ناصفرِ متناهی‌مرتبه ندارد، حال آن‌که ℤ ⊕ ℤ₂ دارای عنصری از مرتبهٔ ۲ است:

(۰ , ۱)

پس وجودِ دنبالهٔ کامل کوتاه، به تنهایی به معنای جمع مستقیم بودنِ مدول میانی نیست.

جمع‌بندی

بدین‌سان، دنبالهٔ کامل زبانِ سنجشِ «آنچه وارد می‌شود» و «آنچه در گام بعدی صفر می‌گردد» است؛ و دنبالهٔ شکافته، لحظه‌ای است که این پیوندِ دقیق به جمعی روشن و بی‌ابهام تبدیل می‌شود.