ریاضیات

مرور و جمع‌آوری: حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم در ردهٔ مدول‌ها

فرض کنید R یک حلقه باشد و خانواده‌ای از R-مدول‌ها به صورت زیر داشته باشیم:

{ Aᵢ | i ∈ I }

در این‌جا I مجموعهٔ اندیس‌هاست؛ ممکن است متناهی یا نامتناهی باشد.

۱. حاصل‌ضربِ خانوادهٔ مدول‌ها

حاصل‌ضربِ این خانواده چنین است:

∏ᵢ∈ᴵ Aᵢ

اعضای آن، همهٔ خانواده‌های مرتبِ زیرند:

(aᵢ)ᵢ∈ᴵ ، aᵢ ∈ Aᵢ

هیچ شرطی وجود ندارد که فقط تعداد متناهی مؤلفه ناصفر باشند. بنابراین، اگر همهٔ Aᵢها برابر ℤ باشند، دنبالهٔ زیر عضوی از حاصل‌ضرب است:

(1 , 1 , 1 , 1 , …) ∈ ∏ₙ∈ℕ ℤ

برای هر i، یک نگاشت تصویر طبیعی داریم:

πᵢ : ∏ᵢ∈ᴵ Aᵢ ⟶ Aᵢ

و عمل آن فقط برداشتن مؤلفهٔ i-ام است:

πᵢ((aⱼ)ⱼ∈ᴵ) = aᵢ

خاصیت جهانیِ حاصل‌ضرب

اگر C یک R-مدول باشد و برای هر i یک هم‌ریختی داشته باشیم:

φᵢ : C ⟶ Aᵢ

آن‌گاه یک و فقط یک هم‌ریختی وجود دارد:

φ : C ⟶ ∏ᵢ∈ᴵ Aᵢ

که برای همهٔ iها شرط زیر را برآورده کند:

πᵢ ∘ φ = φᵢ

این نگاشتِ یکتا، مؤلفه‌به‌مؤلفه ساخته می‌شود:

φ(c) = (φᵢ(c))ᵢ∈ᴵ

پس حاصل‌ضرب، جایی است که یک خانواده نگاشت با مقصدهای گوناگون، در یک نگاشت واحد گرد می‌آیند.

۲. مجموع مستقیمِ خانوادهٔ مدول‌ها

مجموع مستقیمِ همان خانواده چنین نوشته می‌شود:

⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ

این مدول از خانواده‌های مرتب تشکیل می‌شود، با این تفاوت اساسی که فقط تعداد متناهی مؤلفه می‌توانند ناصفر باشند:

(aᵢ)ᵢ∈ᴵ ∈ ⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ

اگر و تنها اگر { i ∈ I | aᵢ ≠ 0 } متناهی باشد

برای نمونه:

(3 , 0 , −2 , 0 , 0 , …) ∈ ⊕ₙ∈ℕ ℤ

اما:

(1 , 1 , 1 , 1 , …) ∉ ⊕ₙ∈ℕ ℤ

زیرا در دنبالهٔ دوم، بی‌نهایت مؤلفه ناصفر است.

برای هر i، یک نگاشت شمول طبیعی داریم:

ιᵢ : Aᵢ ⟶ ⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ

که یک عنصر را در مؤلفهٔ i-ام می‌نشاند و بقیهٔ مؤلفه‌ها را صفر می‌گذارد:

ιᵢ(a) = (0 , … , 0 , a , 0 , …)

خاصیت جهانیِ مجموع مستقیم

اگر D یک R-مدول باشد و برای هر i هم‌ریختی زیر داده شود:

ψᵢ : Aᵢ ⟶ D

آن‌گاه دقیقاً یک هم‌ریختی وجود دارد:

ψ : ⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ ⟶ D

به‌طوری که برای هر i:

ψ ∘ ιᵢ = ψᵢ

و عمل آن بر خانوادهٔ با تکیه‌گاه متناهی چنین است:

ψ((aᵢ)ᵢ∈ᴵ) = Σᵢ∈ᴵ ψᵢ(aᵢ)

این جمع کاملاً معنادار است، زیرا فقط شمار متناهی جمله ناصفر دارد.

۳. مثالِ مشترک

بگذارید:

A₁ = ℤ ، A₂ = ℤ₆

در حالت متناهی، حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم هم‌ریخت‌اند:

ℤ × ℤ₆ ≅ ℤ ⊕ ℤ₆

اما نقش رده‌ایِ آن‌ها متفاوت است:

• در حاصل‌ضرب، تصویرها مهم‌اند: از شیء بزرگ به سوی مؤلفه‌ها می‌رویم.
• در مجموع مستقیم، شمول‌ها مهم‌اند: از مؤلفه‌ها به سوی شیء بزرگ می‌رویم.

برای نمونه، اگر:

φ₁(n) = 2n

φ₂(n) = n mod 6

باشد، آنگاه نگاشت یکتای حاصل‌ضربی چنین است:

φ : ℤ ⟶ ℤ × ℤ₆

φ(n) = (2n , n mod 6)

و اگر نگاشت‌هایی از دو مؤلفه به ℤ₆ داشته باشیم:

ψ₁(n) = n mod 6

ψ₂(x) = 2x

آنگاه نگاشت یکتای مجموعی چنین می‌شود:

ψ : ℤ ⊕ ℤ₆ ⟶ ℤ₆

ψ(n , x) = n mod 6 + 2x

۴. حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم از دید رده‌ای

در زبان نظریهٔ رده‌ها:

حاصل‌ضرب = Product

مجموع مستقیم = Coproduct

حاصل‌ضرب با نگاشت‌های تصویر طبیعی و خاصیت جهانیِ آن‌ها شناخته می‌شود؛ مجموع مستقیم با نگاشت‌های شمول طبیعی و خاصیت جهانیِ دوگانِ آن.

در ردهٔ مدول‌ها، برای خانوادهٔ متناهی:

A₁ × A₂ × … × Aₙ ≅ A₁ ⊕ A₂ ⊕ … ⊕ Aₙ

ولی برای خانوادهٔ نامتناهی، در حالت کلی:

∏ᵢ∈ᴵ Aᵢ ≄ ⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ

۵. ارتباط با دقیق بودن

اگر برای هر i دنباله‌ای کامل داشته باشیم:

Aᵢ ⟶ Bᵢ ⟶ Cᵢ

آنگاه با گرفتن مجموع مستقیم، دنبالهٔ زیر نیز کامل می‌ماند:

⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ ⟶ ⊕ᵢ∈ᴵ Bᵢ ⟶ ⊕ᵢ∈ᴵ Cᵢ

به بیان رده‌ای، تابع‌گر مجموع مستقیم در ردهٔ مدول‌ها دقیق است. همچنین حاصل‌ضرب‌ها هم در ردهٔ مدول‌ها دقیق‌اند؛ با این همه، از نظر رفتار با اشیای تصویری، تفاوتی مهم وجود دارد.

۶. ارتباط با مدول‌های تصویری

اگر هر Aᵢ یک R-مدول تصویری باشد، مجموع مستقیم آن‌ها نیز تصویری است:

هر Aᵢ تصویری است ⇒ ⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ تصویری است

دلیل آن این است که هر نگاشت از مؤلفهٔ Aᵢ جداگانه بالابر دارد؛ سپس این بالابرها، به یاری خاصیت جهانیِ مجموع مستقیم، در یک بالابر یگانه از کل مجموع مستقیم گرد می‌آیند.

در جهت عکس نیز، هر مؤلفه یک جمعوند مستقیمِ مجموع بزرگ است. پس:

⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ تصویری است ⇒ هر Aᵢ تصویری است

بنابراین:

⊕ᵢ∈ᴵ Aᵢ تصویری است ⇔ هر Aᵢ تصویری است

اما این حکم برای حاصل‌ضرب نامتناهی، عموماً برقرار نیست:

هر Aᵢ تصویری است ⇏ ∏ᵢ∈ᴵ Aᵢ تصویری است

۷. خلاصهٔ نهایی

پس حاصل‌ضرب، فضای «همهٔ مختصات» است؛ و مجموع مستقیم، فضای «مختصاتِ متناهی‌پشتیبان». یکی با تصویرها تعریف می‌شود و دیگری با شمول‌ها؛ یکی چهرهٔ حدّی دارد و دیگری چهرهٔ هم‌حدّی.