ریاضیات

این پنج تصویر، ادامهٔ مبحثِ **حاصل‌ضرب و مجموع مستقیمِ خانواده‌ای از مدول‌ها** و نسبت آن‌ها با **دنباله‌های کامل** و **مدول‌های تصویری** است.

تصویر چهارم بسیار تار است و بازخوانیِ واژه‌به‌واژه از آن ممکن نیست؛ اما تصاویر دوم، سوم و پنجم، ساختار اصلی بحث را روشن می‌کنند. بازنویسیِ منظم و دقیقِ مطلب چنین است:

حاصل‌ضرب و مجموع مستقیم یک خانواده از مدول‌ها

فرض کنید خانواده‌ای از R-مدول‌ها به صورت زیر داده شده باشد:

(A_i)_i∈I

حاصل‌ضرب این خانواده، مدولی است که همهٔ خانواده‌های مرتبِ عناصر را در بر می‌گیرد:

∏_i∈I A_i

هر عضو آن، یک خانوادهٔ مرتب است:

(a_i)_i∈I

که در آن، برای هر i، داریم:

a_i ∈ A_i

در مقابل، مجموع مستقیم خارجیِ این خانواده چنین نوشته می‌شود:

⊕_i∈I A_i

این مدول از همان خانواده‌های مرتب تشکیل می‌شود، با این شرطِ افزوده که فقط تعداد متناهی از مؤلفه‌ها ناصفر باشند:

(a_i)_i∈I ∈ ⊕_i∈I A_i

⇔ { i ∈ I | a_i ≠ 0 } متناهی است

پس تفاوت اصلی چنین است: در حاصل‌ضرب، ممکن است بی‌نهایت مؤلفه ناصفر باشد؛ ولی در مجموع مستقیم، تنها شمار متناهی از مؤلفه‌ها اجازه دارند ناصفر باشند.

نگاشت‌های القاشده بر حاصل‌ضرب

اگر برای هر i یک هم‌ریختی مدولی داشته باشیم:

α_i : A_i ⟶ B_i

آنگاه یک هم‌ریختی طبیعی میان حاصل‌ضرب‌ها به دست می‌آید:

∏ α_i : ∏_i∈I A_i ⟶ ∏_i∈I B_i

که مؤلفه‌ها را جداگانه می‌فرستد:

(a_i)_i∈I ⟼ (α_i(a_i))_i∈I

به همین صورت، اگر:

β_i : B_i ⟶ C_i

باشد، نگاشت زیر نیز به‌طور مؤلفه‌ای تعریف می‌شود:

∏ β_i : ∏_i∈I B_i ⟶ ∏_i∈I C_i

(b_i)_i∈I ⟼ (β_i(b_i))_i∈I

دنباله‌های کامل و حاصل‌ضرب

فرض کنید برای هر i، دنبالهٔ زیر کامل باشد:

A_i ──α_i──→ B_i ──β_i──→ C_i

یعنی برای هر i داشته باشیم:

Im(α_i) = Ker(β_i)

آنگاه با گرفتن حاصل‌ضربِ مؤلفه‌ها، دنبالهٔ زیر نیز کامل است:

∏_i∈I A_i ──∏α_i──→ ∏_i∈I B_i ──∏β_i──→ ∏_i∈I C_i

در واقع، عضوی مانند (b_i) در هستهٔ ∏β_i قرار دارد اگر و تنها اگر برای هر i داشته باشیم:

β_i(b_i) = 0

و چون دنبالهٔ i-ام کامل است، برای هر i عنصری مانند a_i وجود دارد که:

α_i(a_i) = b_i

پس:

(b_i) = (∏α_i)((a_i))

و بنابراین:

Ker(∏β_i) = Im(∏α_i)

مجموع مستقیم و دنباله‌های کامل

همین بحث برای مجموع مستقیم نیز برقرار است. اگر برای هر i دنبالهٔ زیر کامل باشد:

A_i ──α_i──→ B_i ──β_i──→ C_i

آنگاه دنبالهٔ مجموع‌های مستقیم نیز کامل است:

⊕_i∈I A_i ──⊕α_i──→ ⊕_i∈I B_i ──⊕β_i──→ ⊕_i∈I C_i

زیرا یک عضو از مجموع مستقیم، فقط شمار متناهی مؤلفهٔ ناصفر دارد؛ پس یافتنِ پیش‌تصویرِ مؤلفه‌ای، باز هم عضوی با تکیه‌گاه متناهی تولید می‌کند.

قضیه: مجموع مستقیم مدول‌های تصویری

نکتهٔ اصلیِ تصویر پنجم این قضیه است:

⊕_i∈I M_i تصویری است

⇔

هر M_i تصویری است

یعنی یک مجموع مستقیم از مدول‌ها تصویری است اگر و تنها اگر تک‌تکِ مؤلفه‌های آن تصویری باشند.

جهتِ نخست روشن است: هر M_i جمعوند مستقیمِ مجموع مستقیمِ بزرگ است. اگر کلِ مجموع مستقیم تصویری باشد، هر جمعوند مستقیمِ آن نیز تصویری خواهد بود.

برای جهت عکس، فرض کنید همهٔ M_iها تصویری باشند. اگر یک هم‌ریختی پوشا و یک هم‌ریختی دیگر داده شود:

p : X ⟶ Y

g : ⊕_i∈I M_i ⟶ Y

کافی است گ را بر هر مؤلفهٔ M_i محدود کنیم. چون M_i تصویری است، هر محدودیت یک بالابر دارد. این بالابرهای مؤلفه‌ای، به یاری خاصیت جهانیِ مجموع مستقیم، با هم ترکیب می‌شوند و بالابری یگانه می‌سازند:

λ : ⊕_i∈I M_i ⟶ X

p ∘ λ = g

پس مجموع مستقیم نیز تصویری است.

نکتهٔ مهم: تفاوت مجموع مستقیم و حاصل‌ضرب

در ردهٔ مدول‌ها، مجموع مستقیمِ هر خانواده از مدول‌های تصویری، تصویری است. اما حاصل‌ضربِ نامتناهی از مدول‌های تصویری، در حالت کلی لازم نیست تصویری باشد.

پس در این مبحث، مجموع مستقیم رفتاری خوش‌خیم‌تر دارد:

همهٔ M_iها تصویری‌اند

⇒

⊕_i∈I M_i تصویری است

اما جایگزین کردنِ نماد مجموع مستقیم با حاصل‌ضرب، بی‌قیدوشرط درست نیست. این تفاوت، یکی از مرزهای مهم میان ساختارِ هم‌ضربی و ساختارِ هم‌جمعی در نظریهٔ رده‌ها و نظریهٔ مدول‌هاست.