ریاضیات

این تصاویر ادامهٔ مستقیمِ بحثِ **شیء تصویری** و سپس آغازِ بحثِ **شیء تزریقی** و **حاصل‌ضرب اشیاء در رده‌ها** است. در صفحهٔ نخست، معیار تابع‌گریِ هوم برای تصویری بودن؛ در صفحهٔ دوم، مفهومِ دوگانِ آن یعنی تزریقی بودن؛ و در صفحهٔ سوم، تعریف حاصل‌ضرب رده‌ای آمده است.

معیار تابع‌گری برای شیء تصویری

فرض کنید P یک R-مدول راست باشد. تابع‌گر هم‌وردأ هوم با مبدأِ ثابت P را در نظر می‌گیریم:

Hom_R(P , −)

اگر:

f : M ⟶ N

یک هم‌ریختی پوشا باشد، آنگاه تابع‌گر هوم نگاشت زیر را پدید می‌آورد:

Hom_R(P , M) ⟶ Hom_R(P , N)

این نگاشت، هر هم‌ریختی α از P به M را به ترکیب آن با f می‌فرستد:

α ⟼ f ∘ α

اکنون P تصویری است اگر و تنها اگر، هرگاه f پوشا باشد، نگاشتِ القاشده نیز پوشا گردد. یعنی:

Hom_R(P , f) : Hom_R(P , M) ⟶ Hom_R(P , N)

پوشا باشد.

معنای این گفته آن است که اگر:

g : P ⟶ N

هر هم‌ریختی باشد، همواره هم‌ریختیِ بالابرنده‌ای مانند λ موجود است:

λ : P ⟶ M

که رابطهٔ زیر را برآورده سازد:

f ∘ λ = g

پس بیانِ «P تصویری است» با بیانِ «تابع‌گر Hom_R(P , −) پوشاها را به پوشاها می‌برد» دقیقاً هم‌ارز است.

تعریف: شیء تزریقی

در تصویر دوم، مفهومِ دوگانِ شیء تصویری معرفی می‌شود. شیء Q را تزریقی می‌نامیم هرگاه در برابر هر هم‌ریختیِ یک‌به‌یک، توانِ امتداد دادنِ ریخت‌ها را داشته باشد.

فرض کنید:

f : M ⟶ N

یک‌به‌یک باشد و همچنین:

g : M ⟶ Q

یک هم‌ریختی داده شده باشد. آنگاه Q تزریقی است هرگاه هم‌ریختیِ λ وجود داشته باشد:

λ : N ⟶ Q

به‌گونه‌ای که نمودار جابه‌جایی‌پذیر شود:

λ ∘ f = g

نمودار آن چنین است:

M ──f──→ N

│ │

g λ

↓ ↓

Q ───────→ Q

یعنی هر ریخت از زیرمدول M به Q، باید از کلِ مدول N به Q قابلِ امتداد باشد.

معیار تابع‌گری برای شیء تزریقی

این بار تابع‌گر هومِ پادوردا با مقصدِ ثابت Q را در نظر می‌گیریم:

Hom_R(− , Q)

اگر f یک‌به‌یک باشد:

f : M ⟶ N

تابع‌گر پادوردا، جهتِ پیکان را برمی‌گرداند:

Hom_R(N , Q) ⟶ Hom_R(M , Q)

و این نگاشت، λ را به ترکیبِ λ با f می‌برد:

λ ⟼ λ ∘ f

اکنون Q تزریقی است اگر و تنها اگر این نگاشتِ القاشده، برای هر f یک‌به‌یک، پوشا باشد.

Hom_R(f , Q) : Hom_R(N , Q) ⟶ Hom_R(M , Q)

پوشا بودنِ این نگاشت، می‌گوید هر g از M به Q، از صورتِ λ ∘ f برای یک λ از N به Q است؛ پس دقیقاً همان خاصیت امتداد را بیان می‌کند.

تقابلِ تصویری و تزریقی

این دو تعریف قرینهٔ یکدیگرند:

شیء تصویری، نسبت به ریخت‌های پوشا خاصیت بالابری دارد؛ پس تابع‌گر Hom(P , −) پوشاها را به پوشاها می‌برد.

شیء تزریقی، نسبت به ریخت‌های یک‌به‌یک خاصیت امتداد دارد؛ پس تابع‌گر Hom(− , Q) یک‌به‌یک‌ها را به پوشاها می‌برد.

P projective ⟺ Hom(P , −) preserves epimorphisms

Q injective ⟺ Hom(− , Q) sends monomorphisms to epimorphisms

آغاز بحث: حاصل‌ضرب رده‌ای

در تصویر سوم، تعریفِ حاصل‌ضرب خانواده‌ای از اشیاء آغاز شده است. فرض کنید خانواده‌ای از اشیاءِ یک رده داشته باشیم:

(A_i)_i∈I

حاصل‌ضرب این خانواده، شیئی مانند A همراه با خانواده‌ای از تصویرها است:

π_i : A ⟶ A_i

که معمولاً A را چنین می‌نویسند:

A = ∏_i∈I A_i

خاصیتِ تعیین‌کنندهٔ حاصل‌ضرب این است که برای هر شیء X و هر خانواده از ریخت‌ها:

f_i : X ⟶ A_i

یک و تنها یک ریخت وجود دارد:

f : X ⟶ ∏_i∈I A_i

به‌گونه‌ای که برای هر i داشته باشیم:

π_i ∘ f = f_i

در ردهٔ مجموعه‌ها، حاصل‌ضرب دقیقاً مجموعهٔ خانواده‌های مرتب است:

∏_i∈I A_i = { (a_i)_i∈I | a_i ∈ A_i }

و تصویرِ π_i، از هر خانواده فقط مؤلفهٔ i-ام را برمی‌گیرد. پس حاصل‌ضرب، شیئی است که همهٔ مقصدهای A_i را در خود جمع می‌کند، اما این جمع را با خاصیتِ جهانی و یکتاییِ ریختِ f سامان می‌دهد.