ریاضیات

قضیه: مشخصه‌های هم‌ارزِ شیء تصویری

در یک ردهٔ آبلی، برای یک شیء P، چند بیانِ ظاهراً متفاوت وجود دارد که همگی یک حقیقت را بازمی‌گویند: «P شیئی تصویری است.»

این بیان‌ها عبارت‌اند از:

۱. P تصویری است؛ یعنی هر ریخت از P به مقصدِ یک ریخت پوشا، از آن ریخت پوشا بالابر دارد.

۲. هر دنبالهٔ کامل کوتاه که در انتهایش P باشد، شکافته می‌شود.

0 ⟶ K ⟶ E ──p──→ P ⟶ 0

شکافتنِ این دنباله یعنی ریختی مانند s وجود داشته باشد که p را از راست معکوس کند:

s : P ⟶ E

p ∘ s = 1_P

۳. تابع‌گر هم‌وردأ هوم با مبدأ P، ریخت‌های پوشا را به نگاشت‌های پوشا میان گروه‌های آبلی تبدیل می‌کند.

Hom(P , −)

به‌صورت دقیق، اگر p پوشا باشد، نگاشت القاشده نیز پوشا است:

Hom(P , M) ──Hom(P , p)──→ Hom(P , N)

در این‌جا هر ریخت از P به N، تصویری از یک ریخت از P به M خواهد بود؛ و این دقیقاً همان خاصیت بالابریِ P است.

اثبات پیوندِ تصویری بودن و شکافتن

فرض کنید دنبالهٔ کامل کوتاه زیر را داشته باشیم:

0 ⟶ K ⟶ E ──p──→ P ⟶ 0

چون P تصویری است و p پوشا است، برای همانیِ P یک بالابر وجود دارد:

1_P : P ⟶ P

یعنی ریختی s از P به E موجود است که:

p ∘ s = 1_P

پس p یک معکوس راست دارد؛ بنابراین دنباله شکافته می‌شود. از این‌رو:

E ≅ K ⊕ P

یعنی شیء میانی E از دو بخش تشکیل می‌شود: هستهٔ p و خودِ P. شیء تصویری اجازه نمی‌دهد P در یک بسطِ غیرشکافته پنهان بماند؛ همواره راهی برای جدا شدنِ آن از شیء میانی می‌گشاید.

مثالِ بنیادی: مدول آزاد

فرض کنید F یک مدول آزاد راست روی R باشد و پایه‌ای به شکل زیر داشته باشد:

F = ⨁_i∈I R e_i

همچنین فرض کنید p پوشا و g یک هم‌ریختی مدولی باشد:

p : M ⟶ N

g : F ⟶ N

برای هر عنصر پایه e_i، عنصر g(e_i) در N قرار دارد. چون p پوشا است، عنصری مانند m_i در M می‌یابیم که:

p(m_i) = g(e_i)

اکنون به کمک خاصیت آزادیِ F، نگاشت یکتایی وجود دارد که هر e_i را به m_i بفرستد:

λ : F ⟶ M

λ(e_i) = m_i

پس بر روی همهٔ عناصر پایه، و در نتیجه بر تمام F، داریم:

p ∘ λ = g

بنابراین هر مدول آزاد تصویری است. در این برهان، «آزاد بودن» ابزارِ ساختنِ بالابر است و «پوشا بودن» ابزارِ انتخابِ پیش‌تصویرها.

جمعوند مستقیم و مدول تصویری

اکنون اگر P جمعوند مستقیم یک مدول آزاد F باشد، یعنی مدولی Q وجود داشته باشد که:

F ≅ P ⊕ Q

آنگاه P نیز تصویری است. به همین سبب، در ردهٔ مدول‌ها می‌توان گفت:

یک مدول تصویری است اگر و تنها اگر جمعوند مستقیمِ یک مدول آزاد باشد.

این قضیه بسیار مهم است؛ زیرا گاه یک مدول پایهٔ آزاد ندارد، اما همچنان به‌عنوان بخشی جداشدنی از یک مدول آزاد پدیدار می‌شود و از این راه خاصیت تصویری را به ارث می‌برد.

تقابلِ شیء تزریقی و شیء تصویری

شیء تصویری با ریخت‌های پوشا سروکار دارد و از مقصد به مبدأ بالا می‌رود. مفهوم دوگانیِ آن، شیء تزریقی است که با ریخت‌های یک‌به‌یک سروکار دارد و توانِ امتداد دادن ریخت‌ها را دارد.

برای شیء تزریقی I، اگر i یک ریخت یک‌به‌یک باشد:

i : M ⟶ N

و ریختی از M به I داشته باشیم:

f : M ⟶ I

باید ریختی از N به I موجود باشد که f را امتداد دهد:

g : N ⟶ I

g ∘ i = f

پس تصویری بودن، خاصیتِ بالابری از روی پوشاهاست؛ و تزریقی بودن، خاصیتِ امتداد از روی یک‌به‌یک‌ها. یکی در سوی چپِ دنباله‌های کامل می‌درخشد و دیگری در سوی راستِ آن‌ها.