ریاضیات

این سه تصویر، دو بحثِ پیوسته را در نظریهٔ رده‌ها نشان می‌دهند:

۱. **زیرردهٔ کامل**

۲. **شیء تصویری** و خاصیتِ بالابری نسبت به ریخت‌های پوشا

تعریف: زیرردهٔ کامل

فرض کنید S زیررده‌ای از ردهٔ T باشد. می‌گوییم S یک زیرردهٔ کامل از T است، هرگاه تابع‌گر شمول از S به T، تابع‌گری کامل باشد.

یعنی برای هر دو شیء X و Y از S، هر ریختی از X به Y که در ردهٔ بزرگ‌تر T وجود دارد، پیشاپیش ریختی در خودِ S نیز باشد.

Hom_S(X , Y) = Hom_T(X , Y)

پس «کامل بودن زیررده» ناظر به این است که میان اشیاءِ موجود در زیررده، هیچ ریختی از ردهٔ بزرگ‌تر حذف نشده باشد.

دقت شود که این مفهوم با «تابع‌گر کامل» فرق دارد: تابع‌گر کامل، دربارهٔ پوشا بودن نگاشت میان مجموعه‌های ریخت‌هاست؛ اما زیرردهٔ کامل، زیررده‌ای است که تابع‌گر شمول آن کامل باشد.

تعریف: شیء تصویری

فرض کنید P شیئی از یک ردهٔ آبلی، یا به‌طور کلی رده‌ای دارای ریخت‌های پوشا، باشد. شیء P را تصویری می‌نامیم اگر هر ریخت از P به مقصدِ یک ریخت پوشا، از آن ریخت پوشا بالا برود.

به‌صورت دقیق، اگر p یک ریخت پوشا و g هر ریختی باشد:

p : M ⟶ N

g : P ⟶ N

آنگاه باید ریختی مانند λ وجود داشته باشد که:

λ : P ⟶ M

و ترکیب آن با p، همان g گردد:

p ∘ λ = g

یعنی نمودار زیر جابه‌جایی‌پذیر باشد:

P ──λ──→ M

│ │ p

g ↓

↓ N

معنای شهودی آن چنین است: اگر بتوان از P به N رفت، و N تصویر پوشای M باشد، آنگاه می‌توان این مسیر را از راهِ M نیز ساخت. شیء تصویری، در برابرِ ریخت‌های پوشا، توانِ «بالا رفتن» دارد.

فرم نموداریِ تعریف

در نگارش متداول‌تر، نمودار تعریف شیء تصویری چنین است:

P ──g──→ N

│ ↑ p

λ M

که در آن p پوشا است و باید λ چنان یافت شود که:

p ∘ λ = g

مثال: مدول‌های آزاد تصویری‌اند

در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ R، هر مدول آزاد تصویری است. به‌ویژه، خودِ مدول R به‌عنوان مدول راست روی خویش، شیئی تصویری است.

علت آن است که یک مدول آزاد با انتخاب پایه شناخته می‌شود. برای ساختن یک ریخت از مدول آزاد به M، کافی است تصویر هر عضو پایه را در M انتخاب کنیم؛ سپس این انتخاب به‌طور یکتا به یک هم‌ریختی مدولی گسترش می‌یابد.

برای نمونه، اگر F مدول آزاد با پایهٔ مجموعهٔ I باشد و:

p : M ⟶ N

پوشا باشد، و ریختی از F به N داشته باشیم، برای هر عضو پایهٔ F یک پیش‌تصویر در M برمی‌گزینیم. این پیش‌تصویرها ریختِ بالابرنده را تعیین می‌کنند؛ پس F تصویری است.

نکتهٔ مفهومی

شیء تصویری با «مدول آزاد» یکی نیست. هر مدول آزاد تصویری است، ولی هر مدول تصویری لزوماً آزاد نیست. با این همه، هر مدول تصویری همواره به‌صورت یک جمعوند مستقیم از یک مدول آزاد ظاهر می‌شود.

P ⊕ Q ≅ F

که در آن مي‌کند. است. این رابطه، پیوند ژرف میان آزاد بودن، تصویری بودن و شکافتنِ دنباله‌های کامل کوتاه را آشکار می‌کند.