ریاضیات

این برگه به مبحث بنیادین **تابع‌گر زوج الحاقی (Adjoint Functor Pair)** و دو مثال کلاسیک آن یعنی **«تابع‌گر آزاد / فراموشکار»** و **«آبلی‌سازی گروه‌ها»** اختصاص دارد.

بازنویسی پاکیزه و یک‌دستِ این صفحه در قالب استاندارد وبلاگی تقدیم می‌شود:

تعریف: تابع‌گرهای زوج الحاقی

دو تابع‌گر زیر را میان دو رده در نظر بگیرید:

T : A ──→ B

S : B ──→ A

گوییم زوج (S , T) یک زوج الحاقی (Adjunction) است (یا به عبارت دقیق‌تر S تابع‌گر الحاقی چپ و T تابع‌گر الحاقی راست است)، هرگاه برای هر شیء X در ردهٔ A و هر شیء Y در ردهٔ B، یک هم‌ریختی طبیعی میان مجموعه‌های هوم برقرار باشد:

Hom_A( S(Y) , X ) ≅ Hom_B( Y , T(X) )

که این تناظر در هر دو مؤلفهٔ X و Y طبیعی (Natural) است.

مثال ۱: تابع‌گر فراموشکار و تابع‌گر آزاد

فرض کنید ردهٔ G ردهٔ گروه‌ها (Grp) و ردهٔ S ردهٔ مجموعه‌ها (Set) باشد. تابع‌گر فراموشکار U را از ردهٔ گروه‌ها به ردهٔ مجموعه‌ها در نظر می‌گیریم:

U : Grp ──→ Set

که به هر گروه، مجموعهٔ زیربنایی آن را نظیر می‌کند و ساختار گروهی را فراموش می‌نماید.

تابع‌گر الحاقیِ چپِ آن، تابع‌گر گروه آزاد F است:

F : Set ──→ Grp

که به هر مجموعهٔ X، گروه آزاد تولید شده توسط عناصر X یعنی F(X) را اختصاص می‌دهد. بنابر خاصیت جهانی گروه آزاد، تناظر طبیعی زیر همواره برقرار است:

Hom_Grp( F(X) , G ) ≅ Hom_Set( X , U(G) )

یعنی هر تبدیل از مجموعهٔ مولدهای X به عناصر گروه G، به‌طور یکتا به یک هم‌ریختیِ گروهی از گروه آزاد F(X) به گروه G گسترش می‌یابد.

مثال ۲: تابع‌گر آبلی‌سازی

اگر ردهٔ Ab ردهٔ گروه‌های آبلی و ردهٔ Gp ردهٔ تمام گروه‌ها باشد:

I : Ab ──→ Gp

تابع‌گر شمول (Inclusion) است که هر گروه آبلی را عضوی از تمام گروه‌ها می‌داند. تابع‌گر الحاقی چپِ آن، تابع‌گر آبلی‌سازی (Abelianization) است:

Ab : Gp ──→ Ab

G ──→ G^ab = G / [G , G]

و رابطهٔ الحاق به صورت زیر برقرار خواهد بود:

Hom_Ab( G^ab , A ) ≅ Hom_Gp( G , I(A) )