ریاضیات

در این بخش از یادداشت‌ها، اصطلاح «کامل» در حقیقت معادلِ واژهٔ **Exact** (که در متون فارسی به آن **دقیق** یا **کامل**) می‌گویند، به کار رفته است. موضوع این صفحه، **تابع‌گرهای دقیق (کامل)**، **دنباله‌های دقیق (کامل)** و ارتباط میان ویژگی‌های **وفاداری (Faithful)** و **پُر بودن (Full)** با دقتِ دنباله‌ها در **رده‌های آبلی** است.

قضیه: تابع‌گر دقیق (کامل)

فرض کنید T تابع‌گری میان رده‌های آبلی باشد. می‌گوییم تابع‌گر T کامل (دقیق / Exact) است، اگر و تنها اگر هر دنبالهٔ کامل کوتاه را به یک دنبالهٔ کامل کوتاه تبدیل کند (انتقال دهد).

به بیان دیگر، اگر دنبالهٔ زیر در ردهٔ آبلی A یک دنبالهٔ کامل (Exact) باشد:

0 ──→ A ──λ──→ B ──μ──→ C ──→ 0

آن‌گاه تصویر آن تحت تابع‌گر T نیز در ردهٔ مقصد یک دنبالهٔ کامل باشد:

0 ──→ T(A) ──T(λ)──→ T(B) ──T(μ)──→ T(C) ──→ 0

بررسی تابع‌گرهای هوم در رده‌های آبلی

برای هر ردهٔ آبلی A و دو شیء A و B، مجموعهٔ هم‌ریختی‌های Hom(A, B) خود یک گروه آبلی است.

حال می‌پرسیم تابع‌گرهای هومِ هم‌وردا و پادوردا:

h^A = Hom(A , −)

h_B = Hom(− , B)

چه هنگام کامل‌اند؟ می‌دانیم که تابع‌گرهای هوم همواره از چپ‌کامل (چپ‌دقیق / Left Exact) هستند؛ اما برای کاملِ تام بودن، شیء A باید یک شیء تصویری (Projective) و شیء B باید یک شیء تزریقی (Injective) باشد.

قضیه: تابع‌گر وفادار و دنباله‌های غیرکامل

تابع‌گر T بین رده‌های آبلی، دنباله‌های غیرکامل را به دنباله‌های غیرکامل می‌برد اگر و تنها اگر T یک تابع‌گر وفادار (صادق / Faithful) باشد.

تعریف دنبالهٔ غیرکامل: دنبالهٔ زیر را غیرکامل می‌نامیم:

A ──λ──→ B ──μ──→ C

هرگاه تصویرِ نگاشت نخست با هستهٔ نگاشت دوم برابر نباشد:

Im(λ) ≠ Ker(μ)

تفکیک اصطلاحات وفادار و پُر

برای هر دو شیء X و Y، نگاشت طبیعی زیر را در نظر بگیرید:

T : Hom(X , Y) ──→ Hom(T(X) , T(Y))

۱. تابع‌گر T را وفادار (صادق / Faithful) می‌نامیم، هرگاه نگاشت فوق یک‌به‌یک (تزریقی) باشد.

۲. تابع‌گر T را پُر (کامل روی ریخت‌ها / Full) می‌نامیم، هرگاه نگاشت فوق پوشا باشد.