ریاضیات

تعریف درستِ زیرردهٔ کامل

فرض کنید A زیررده‌ای از ردهٔ B باشد.

A ⊆ B

می‌گوییم A یک زیرردهٔ کامل از B است، هرگاه میان هر دو شیءِ A و B که در زیرردهٔ A قرار دارند، همهٔ هم‌ریختی‌های موجود در ردهٔ بزرگ‌تر B نیز در خودِ A باشند.

یعنی برای هر دو شیء X و Y از A داشته باشیم:

Hom_A(X , Y) = Hom_B(X , Y)

البته برابریِ بالا پس از آن است که هم‌ریختی‌های A را به‌طور طبیعی زیرمجموعه‌ای از هم‌ریختی‌های B بدانیم.

معنا

زیرردهٔ A ممکن است همهٔ اشیاءِ B را دربر نگیرد؛ اما هرگاه دو شیء را از A برگزینیم، هیچ پیکانی میان آن دو در B نباید از A حذف شده باشد.

پس «کامل بودن» در اینجا یعنی:

اشیاء شاید کمتر باشند، ولی هم‌ریختی‌های میان اشیاءِ باقی‌مانده کامل‌اند.

ارتباط با تابع‌گر شامل

تابع‌گر شامل را در نظر بگیرید:

I : A → B

این تابع‌گر، هر شیء و هر هم‌ریختی را همان‌گونه در B می‌نگارد. آنگاه A زیرردهٔ کاملِ B است، اگر و تنها اگر تابع‌گر شامل I کامل باشد؛ زیرا نگاشت زیر برای هر دو شیء X و Y از A پوشا است:

I : Hom_A(X , Y) → Hom_B(X , Y)

و چون تابع‌گر شامل هم‌ریختی‌های متفاوت را یکی نمی‌کند، وفادار نیز هست. بنابراین، تابع‌گر شاملِ یک زیرردهٔ کامل، هم کامل و هم وفادار است.

نمونه

ردهٔ گروه‌های آبلی را به‌عنوان زیررده‌ای از ردهٔ همهٔ گروه‌ها در نظر بگیرید:

Ab ⊆ Grp

این زیررده کامل است؛ زیرا اگر G و H گروه آبلی باشند، هر هم‌ریختی گروهی از G به H خودبه‌خود هم‌ریختی میان گروه‌های آبلی نیز هست. پس:

Hom_Ab(G , H) = Hom_Grp(G , H)

پس نکتهٔ نوشته چنین است: کامل بودنِ زیررده، تمام‌بودنِ پیکان‌ها میان اشیاءِ انتخاب‌شده است؛ نه صرفاً تعریف مستقلی از یک تابع‌گر دلخواه.