ریاضیات

. موضوع آن **تابع‌گر کامل** و سپس **هم‌ارزی یا ایزومرفیِ رده‌ها** است. بازنویسی تمیز و آموزشی آن، با اندکی تکمیل دقیق، چنین است:

تابع‌گر کامل

فرض کنید A و B دو رده باشند و

T : A → B

یک تابع‌گر باشد. برای هر دو شیء A و B از ردهٔ A، تابع‌گر T یک نگاشت میان مجموعه‌های هم‌ریختی پدید می‌آورد:

T : Hom_A(A , B) → Hom_B(T(A) , T(B))

این نگاشت، هر هم‌ریختی f را به هم‌ریختی T(f) می‌فرستد.

f : A → B

T(f) : T(A) → T(B)

می‌گوییم تابع‌گر T کامل است، هرگاه برای هر دو شیء A و B، نگاشت بالا پوشا باشد.

یعنی هر هم‌ریختی میان T(A) و T(B)، از تصویر یک هم‌ریختی در ردهٔ A برخاسته باشد.

برای هر β : T(A) → T(B)

هم‌ریختی α : A → B وجود دارد، به‌طوری‌که

T(α) = β

پس تابع‌گر کامل، هیچ پیکانی را میان تصویرهای خود بی‌ریشه نمی‌گذارد؛ هر پیکانِ مقصد، بازتابِ پیکانی در مبدأ است.

تابع‌گر وفادار

در برابرِ کامل بودن، تابع‌گر T را وفادار می‌نامیم اگر برای هر دو شیء A و B، نگاشت القایی زیر یک‌به‌یک باشد:

T : Hom_A(A , B) → Hom_B(T(A) , T(B))

یعنی اگر دو هم‌ریختی در زیر اثر T یکسان شوند، خودشان نیز از آغاز یکسان بوده‌اند:

T(α) = T(β) ⟹ α = β

تابع‌گر وفادار، تفاوت پیکان‌ها را فراموش نمی‌کند؛ و تابع‌گر کامل، همهٔ پیکان‌های لازم را در تصویر خود فراهم می‌آورد.

تابع‌گر کامل و وفادار

اگر T هم کامل و هم وفادار باشد، برای هر دو شیء A و B یک تناظر یک‌به‌یک میان هم‌ریختی‌ها داریم:

Hom_A(A , B) ≅ Hom_B(T(A) , T(B))

در این حالت، ساختار پیکان‌های ردهٔ A در میان تصویرهای T در ردهٔ B، نه کم می‌شود و نه افزوده. تابع‌گر، زبانِ هم‌ریختی‌ها را درست و تمام منتقل می‌کند.

ایزومرفیِ دو رده

در بخش بالاتر تصویر، رابطه‌هایی از صورت زیر دیده می‌شود:

T ∘ S = 1_B

S ∘ T = 1_A

در اینجا:

T : A → B

S : B → A

و 1_A و 1_B تابع‌گرهای همانیِ دو رده‌اند.

اگر این دو تساوی دقیق برقرار باشند، T و S وارونِ یکدیگرند و رده‌های A و B را ایزومرف می‌نامیم.

معنای این سخن آن است که با رفتن از A به B به‌وسیلهٔ T و بازگشت به‌وسیلهٔ S، دقیقاً به همان شیء و همان هم‌ریختی نخستین می‌رسیم؛ و همین امر در مسیر برعکس نیز برقرار است.

نکتهٔ مهم: ایزومرفی و هم‌ارزی یکسان نیستند

در نظریهٔ رده‌ها، غالباً شرط دقیق بالا بیش از اندازه سخت‌گیرانه است. معمولاً به جای تساوی دقیق، هم‌ریختی طبیعی می‌خواهیم:

S ∘ T ≅ 1_A

T ∘ S ≅ 1_B

در این صورت، A و B را هم‌ارز می‌گوییم، نه لزوماً ایزومرف.

در ایزومرفی، بازگشت دقیق است؛ در هم‌ارزی، بازگشت تا یک هم‌ریختی طبیعیِ سازگار برقرار است. در زبان رده‌ای، هم‌ارزی غالباً مفهوم بنیادی‌تر و طبیعی‌تر است.

خلاصه

تابع‌گر کامل، پیکان‌های مقصد را از مبدأ تأمین می‌کند؛
تابع‌گر وفادار، تفاوت پیکان‌های مبدأ را حفظ می‌کند؛
و تابع‌گر کامل و وفادار، ساختار هم‌ریختی‌ها را به‌طور دقیق منتقل می‌سازد.

اگر افزون بر این، تابع‌گری مانند S وجود داشته باشد که دو ترکیب آن با T تابع‌گرهای همانی شوند، دو رده ایزومرف‌اند؛ و اگر این همانی‌ها تنها تا هم‌ریختی طبیعی برقرار باشند، دو رده هم‌ارزند.