ریاضیات

۱۹. واحد و هم‌واحدِ الحاق

اکنون می‌توان الحاق میان تابع‌گرهای تانسور و هوم را در زبان دقیق‌تر نظریهٔ رده‌ها بیان کرد. تابع‌گرهای مورد نظر عبارت‌اند از:

F(N) = M ⊗_ℤ N

G(P) = Hom_ℤ(M , P)

الحاق

F ⊣ G

دو تبدیل طبیعی بنیادی دارد: واحد الحاق و هم‌واحد الحاق.

۲۰. واحد الحاق

برای هر مدول N، واحد الحاق یک همریختی از N به G(F(N)) است:

η_N : N → Hom_ℤ(M , M ⊗_ℤ N)

این همریختی هر عنصر n از N را به همریختی زیر می‌فرستد:

η_N(n)(m) = m ⊗ n

پس هر عنصر n، یک نگاشت از M به M ⊗_ℤ N تولید می‌کند؛ این نگاشت، هر m را به تانسور m ⊗ n می‌فرستد.

اگر M دارای پایهٔ e_i باشد، آنگاه:

η_N(n)(e_i) = e_i ⊗ n

بنابراین واحد الحاق، عنصر n را در تمام مؤلفه‌های آزاد M قرار می‌دهد؛ اما این قرار دادن به صورت یک خانوادهٔ مستقل و منظم انجام می‌گیرد.

۲۱. واحد الحاق در صورت جمع مستقیم

چون

M ⊗_ℤ N ≅ ⊕_i∈I N

داریم:

Hom_ℤ(M , M ⊗_ℤ N)

≅

∏_i∈I ⊕_j∈I N

در این نمایش، واحد الحاق به هر n، خانواده‌ای را نسبت می‌دهد که در مؤلفهٔ مربوط به e_i، عنصر n را در جایگاه متناظر قرار می‌دهد.

به زبان ساده، واحد الحاق می‌گوید:

هر عنصر N را می‌توان به‌صورت یک الگوی هماهنگ در همهٔ نسخه‌های N مشاهده کرد.

۲۲. هم‌واحد الحاق

برای هر مدول P، هم‌واحد الحاق یک همریختی از F(G(P)) به P است:

ε_P :

M ⊗_ℤ Hom_ℤ(M , P) → P

این همریختی روی تانسورهای ساده به صورت زیر تعریف می‌شود:

ε_P(m ⊗ f) = f(m)

در اینجا:

m ∈ M

f ∈ Hom_ℤ(M , P)

یعنی ابتدا یک عنصر m از M و یک همریختی f از M به P انتخاب می‌کنیم؛ سپس f را روی m اعمال می‌کنیم.

۲۳. معنای هم‌واحد در پایهٔ آزاد

اگر

M = ⊕_i∈I ℤ

باشد، هر همریختی f از M به P با خانواده‌ای از عناصر P مشخص می‌شود:

(f(e_i))_i∈I

همچنین:

M ⊗_ℤ Hom_ℤ(M , P)

≅

⊕_i∈I ∏_j∈I P

هم‌واحد الحاق، هر عنصر واقع در مؤلفهٔ i را با مقدار همریختی متناظر روی e_i محاسبه می‌کند.

e_i ⊗ f ↦ f(e_i)

پس هم‌واحد الحاق، عمل ارزیابی است؛ یعنی تبدیل یک همریختیِ بالقوه به مقدار واقعی آن روی یک عنصر مشخص.

۲۴. دو هویت مثلثی

واحد و هم‌واحد الحاق مستقل از یکدیگر نیستند. آن‌ها دو هویت مثلثی را ارضا می‌کنند.

نخست، برای هر مدول N و هر عنصر n از N، مسیر زیر دوباره به همان عنصر n بازمی‌گردد:

N

→

Hom_ℤ(M , M ⊗_ℤ N)

→

N

در سطح عنصر، این مسیر چنین عمل می‌کند:

n ↦ η_N(n)

η_N(n) ↦ e_i ⊗ n ↦ n

برای هر پایهٔ e_i، مقدار نهایی همان n است.

هویت مثلثی دوم نیز برای هر مدول P چنین است:

M ⊗_ℤ P

→

M ⊗_ℤ Hom_ℤ(M , P)

→

P

این مسیر نیز با استفاده از واحد و هم‌واحد، عمل اصلی تانسور و هوم را بازسازی می‌کند.

۲۵. آیا هم‌واحد همیشه یک ایزومرفیسم است؟

خیر. در حالت کلی، هم‌واحد الحاق:

ε_P :

M ⊗_ℤ Hom_ℤ(M , P) → P

لزومأ یک ایزومرفیسم نیست.

اما اگر M یک مدول آزاد با دست‌کم یک مولد باشد، این نگاشت پوشاست. برای دیدن این مطلب، یک پایهٔ e_i₀ را انتخاب کنید و برای هر p از P، همریختی f را چنان تعریف کنید که:

f(e_i₀) = p

f(e_i) = ۰ ، برای i ≠ i₀

آنگاه:

ε_P(e_i₀ ⊗ f) = f(e_i₀) = p

پس هر عنصر P در تصویر هم‌واحد قرار می‌گیرد.

با این حال، هم‌واحد معمولاً یک‌به‌یک نیست؛ زیرا ممکن است تانسورهای گوناگون پس از ارزیابی، به یک عنصر واحد از P برسند.

۲۶. پیام اصلی این مرحله

در الحاق

M ⊗_ℤ − ⊣ Hom_ℤ(M , −)

واحد الحاق، عنصرهای مدول N را به نگاشت‌های تانسوری تبدیل می‌کند؛ و هم‌واحد الحاق، نگاشت‌های تانسوری را با ارزیابی به عنصرهای مقصد بازمی‌گرداند.

بنابراین:

واحد، آفرینشِ نگاشت است؛

هم‌واحد، بازگشتِ معناست؛

و هویت‌های مثلثی، سازگاری این آفرینش و بازگشت را تضمین می‌کنند.

در مدول‌های آزاد نامتناهی، این سازوکار به‌روشنی میان جمع مستقیم و حاصل‌ضرب مستقیم پل می‌زند: تانسور، نسخه‌های متناهی‌پشتیبان از مدول را می‌سازد؛ هوم، خانواده‌های نامتناهی از تصاویر را ثبت می‌کند؛ و الحاق، این دو صورت را در نظمی واحد گرد می‌آورد.