ریاضیات

مثالی دیگر از الحاق تانسور و هوم در قلمرو مدول‌های نامتناهی

در این مثال، با مدولی روبه‌رو می‌شویم که دارای بی‌نهایت مولد آزاد در چنین قلمرو گسترده‌ای است که الحاق تانسور و هوم، حتی در چنین قلمرو گسترده‌ای، همچنان برقرار می‌ماند؛ هرچند تفاوت میان «جمع مستقیم» و «حاصل‌ضرب مستقیم» نقشی اساسی پیدا می‌کند.

۱. مدول آزاد نامتناهی

حلقهٔ اعداد صحیح را در نظر می‌گیریم و می‌گذاریم:

R = ℤ

اکنون مدول آزاد نامتناهی زیر را تعریف می‌کنیم:

M = ⊕i∈I ℤ

در این‌جا I یک مجموعهٔ نامتناهی است؛ برای سادگی می‌توانیم I را مجموعهٔ اعداد طبیعی بگیریم:

I = ℕ

M = ⊕i∈ℕ ℤ

عناصر M دنباله‌هایی از اعداد صحیح‌اند که فقط تعداد متناهی از مؤلفه‌هایشان ناصفر است. برای هر i، یک مولد پایهٔ ei داریم و هر عنصر M به صورت زیر نوشته می‌شود:

m = a₁e₁ + a₂e₂ + ⋯ + akek

که در آن فقط تعداد متناهی از ضرایب ai ناصفر هستند.

۲. دو تابع‌گر مورد نظر

برای هر ℤ-مدول N، تابع‌گر تانسوری زیر را در نظر می‌گیریم:

F(N) = M ⊗ℤ N

و برای هر ℤ-مدول P، تابع‌گر هوم را چنین تعریف می‌کنیم:

G(P) = Homℤ(M , P)

الحاق مورد نظر عبارت است از:

M ⊗ℤ − ⊣ Homℤ(M , −)

یعنی برای هر دو مدول N و P، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

Homℤ(M ⊗ℤ N , P)

≅

Homℤ(N , Homℤ(M , P))

۳. محاسبهٔ سمت تانسوری

چون تانسور با جمع مستقیم سازگار است، داریم:

M ⊗ℤ N

=

(⊕i∈I ℤ) ⊗ℤ N

M ⊗ℤ N

≅

⊕i∈I (ℤ ⊗ℤ N)

از آن‌جا که:

ℤ ⊗ℤ N ≅ N

نتیجه می‌شود:

M ⊗ℤ N ≅ ⊕i∈I N

این هم‌ریختی به صورت زیر عمل می‌کند:

ei ⊗ n ↦ ن در مؤلفهٔ i

بنابراین تانسور کردن M با N، یک کپی از N را برای هر عضو مجموعهٔ I تولید می‌کند؛ اما همچنان شرط «تعداد متناهی مؤلفهٔ ناصفر» حفظ می‌شود.

۴. محاسبهٔ هوم از مدول آزاد نامتناهی

هر همریختی از M به P با تعیین تصویر مولدهای پایهٔ ei مشخص می‌شود. بنابراین برای هر خانوادهٔ عناصر pi از P، یک همریختی یکتا وجود دارد:

f : M → P

f(ei) = pi

در این‌جا برخلاف عناصر M، خانوادهٔ pi لازم نیست فقط تعداد متناهی عضو ناصفر داشته باشد. ازاین‌رو به حاصل‌ضرب مستقیم می‌رسیم:

Homℤ(M , P)

≅

∏i∈I P

پس برای مدول آزاد نامتناهی داریم:

Homℤ(⊕i∈I ℤ , P)

≅

∏i∈I P

تانسور با M → است:

تانسور با M → جمع مستقیم نسخه‌های N

هوم از M → حاصل‌ضرب مستقیم نسخه‌های P

۵. بررسی سمت راست الحاق

اکنون سمت راست تناظر را محاسبه می‌کنیم:

Hom>(N , Homℤ(M , P))

با استفاده از محاسبهٔ قبلی، داریم:

Homℤ(M , P)

≅

∏i∈I P

پس:

Homℤ>(N , Homℤ(M , P))

≅

Homℤ(N , ∏i∈I P)

هوم در متغیر مقصد، حاصل‌ضرب مستقیم را به حاصل‌ضرب هوم‌ها تبدیل می‌کند:

Homℤ(N , ∏i∈I P)

≅

∏i∈I Homℤ(N , P)

۶. بررسی سمت چپ الحاق

از بخش سوم داشتیم:

M ⊗ℤ N

≅

⊕i∈I N

پس:

Homℤ(M ⊗ℤ N , P)

≅

Homℤ(⊕i∈I N , P)

و چون یک همریختی از جمع مستقیم با تعیین همریختی روی هر مؤلفه مشخص می‌شود:

Homℤ(⊕i∈I N , P)

≅

∏i∈I Homℤ(N , P)

بنابراین سمت چپ و راست هر دو با یک مدول شناخته می‌شوند:

Homℤ(M ⊗ℤ N , PM ⊗ℤ N , P)

≅

∏sub>(N , P)

Homℤ(N , Homℤ(M , P))

≅

∏i∈I Homℤ(N , P)

پس الحاق به صورت کامل آشکار می‌شود:

Homℤ(M ⊗ℤ N , P)

≅

Homℤ(N , Homℤ(M , P))

۷. مثال مشخص با N = ℤ و P = ℤ

اکنون برای روشن‌تر شدن بحث می‌گذاریم:

N = ℤ

P = ℤ

در این صورت:

M ⊗ℤ ℤ ≅ M

پس سمت چپ برابر است با:

Homℤ(M , ℤ)

≅

∏i∈I ℤ

از سوی دیگر:

Homℤ(M , ℤ)

≅

∏i∈I ℤ

Homℤ(ℤ , Homℤ(M , ℤ))

≅

Homℤ(M , ℤ)

بنابراین:

Homℤ(M ⊗ℤ ℤ , ℤ)

≅

Homℤ(ℤ , Homℤ(M , ℤ))

≅

∏i∈I ℤ

هر عنصر این حاصل‌ضرب، یک دنبالهٔ دلخواه از اعداد صحیح است:

(a₁ , a₂ , a₃ , …)

این دنباله، همریختی f از M به ℤ را تعیین می‌کند:

f(a₁e₁ + a₂e₂ + ⋯ + akek)

=

a₁b₁ + a₂b₂ + ⋯ + akbk

در این فرمول، خانوادهٔ bi می‌تواند کاملاً نامتناهی باشد؛ زیرا هر عنصر ورودی فقط تعداد متناهی مؤلفهٔ ناصفر دارد.

۸. نوشتن تناظر الحاق در سطح عناصر

فرض کنیم همریختی زیر را داشته باشیم:

φ : M ⊗ℤ N → P

همریختی متناظر در سمت راست چنین تعریف می‌شود:

φ̃ : N → Homℤ(M , P)

φ̃(n)(m) = φ(m ⊗ n)

برعکس، اگر:

ψ : N → Homℤ(M , P)

داده شده باشد، همریختی متناظر از M ⊗ N به P با قاعدهٔ زیر به دست می‌آید:

ψ̂(m ⊗ n) = ψ(n)(m)

برای مولدهای پایه نیز این رابطه چنین خوانده می‌شود:

ψ̂(ei ⊗ n) = ψ(n)(ei)

پس ψ، برای هر n، خانواده‌ای از عناصر P فراهم می‌کند؛ یکی برای هر مولد ei. همین خانواده، نگاشتی از M ⊗ N به P می‌سازد.

۹. تفاوت جمع مستقیم و حاصل‌ضرب مستقیم

این مثال یکی از ظریف‌ترین نکات مدول‌های نامتناهی را آشکار می‌کند. در مدول M، عناصر به جمع مستقیم تعلق دارند:

M = ⊕i∈I ℤ

بنابراین هر عنصر M فقط تعداد متناهی مؤلفهٔ ناصفر دارد. اما هوم از M به P، با همهٔ خانواده‌های ممکن از عناصر P متناظر است:

Hom(M , P) ≅ ∏i∈I P

بنابراین:

⊕i∈I P

⊊

∏i∈I P

در شمول بالا، اگر I نامتناهی باشد، این شمول معمولاً حقیقی و strict است. برای نمونه، دنبالهٔ زیر در حاصل‌ضرب وجود دارد:

(1 , 1 , 1 , 1 , …)

اما در جمع مستقیم قرار ندارد؛ زیرا بی‌نهایت مؤلفهٔ ناصفر دارد.

۱۰. واحد و هم‌واحد الحاق

واحد الحاق در مدول N نگاشتی است از N به هومِ مدول M در تانسور M با N:

ηN : N → Homℤ(M , M ⊗ℤ N)

این نگاشت به صورت زیر تعریف می‌شود:

ηN(n)(m) = m ⊗ n

به‌ویژه برای مولد پایه داریم:

ηN(n)(ei) = ei ⊗ n

هم‌واحد الحاق در مدول P، نگاشت ارزیابی است:

εP : M ⊗ℤ Homℤ(M , P) → P

εP(m ⊗ f) = f(m)

برای عنصر پایه چنین می‌شود:

εP(ei ⊗ f) = f(ei)

۱۱. نکتهٔ رده‌ای

تابع‌گر تانسور:

M ⊗ℤ −

با داشتن یک مدول آزاد نامتناهی، جمع مستقیم نامتناهی از نسخه‌های مدول ورودی را می‌سازد:

N ↦ ⊕i∈I N

تابع‌گر هوم:

Homℤ(M , −)

همان ساختار را در قالب خانواده‌ای از نگاشت‌ها آشکار می‌کند:

P ↦ ∏i∈I P

الحاق میان این دو، یک تناظر طبیعی میان دو روشِ بیان داده برقرار می‌کند:

Homℤ(⊕i∈I N , P)

≅

Homℤ>(N , ∏i∈I P)

در سوی چپ، ابتدا بی‌نهایت نسخه از N را کنار هم می‌گذاریم و سپس به P نگاشت می‌سازیم. در سوی راست، ابتدا یک خانوادهٔ نامتناهی از مقادیر در P فراهم می‌کنیم و سپس آن خانواده را به کمک N سازمان می‌دهیم.

جمع‌بندی

در قلمرو مدول‌های نامتناهی، با انتخاب:

M = ⊕i∈I ℤ

داریم:

M ⊗ℤ N ≅ ⊕i∈I N

Homℤ(M , P) ≅ ∏i∈I P

و در نتیجه:

Homℤ(M ⊗ℤ N , P)

≅

Homℤ(N , Homℤ(M , P))

این مثال نشان می‌دهد که نامتناهی‌بودن، الحاق را از میان نمی‌برد؛ بلکه تفاوت میان «جمع مستقیمِ محدودیت‌مند» و «حاصل‌ضرب مستقیمِ خانواده‌های آزاد» را آشکار می‌سازد. تانسور، شاخه‌های بی‌شمار را می‌رویاند؛ هوم، همهٔ آن شاخه‌ها را در آینهٔ نگاشت‌ها بازمی‌تاباند.