ریاضیات

مثال کامل دیگر از الحاق تانسور و هوم

در ردهٔ گروه‌های آبلی و حالت دوقیدی

در این مثال، ابتدا صورت عمومی الحاق میان تابع‌گر تانسور و تابع‌گر هوم را در حضور یک دوقیدی بررسی می‌کنیم؛ سپس همین ساختار را در ردهٔ گروه‌های آبلی به صورت کاملاً صریح محاسبه خواهیم کرد.

۱. یادآوری: گروه‌های آبلی به منزلهٔ مدول‌ها

هر گروه آبلی را می‌توان به طور طبیعی یک مدول بر حلقهٔ اعداد صحیح دانست. از این رو، ردهٔ گروه‌های آبلی با ردهٔ مدول‌های روی ℤ هم‌ارز است:

Ab ≃ ℤ-Mod

در ادامه، همهٔ تانسورها و هوم‌ها را بر روی ℤ در نظر می‌گیریم؛ مگر آنکه پایهٔ دیگری به صراحت ذکر شود.

۲. صورت عمومی الحاق برای یک دوقیدی

فرض کنیم R و S دو حلقه باشند و M یک دوقیدی از نوع R و S باشد؛ یعنی M از چپ یک R ـمدول و از راست یک S ـمدول باشد:

R ⋅ M ⋅ S

سازگاری دو عمل به صورت زیر است:

(rm)s = r(ms)

اکنون N را یک S ـمدول چپ و P را یک R ـمدول چپ در نظر می‌گیریم. در این صورت، حاصل‌ضرب تانسوری زیر یک R ـمدول چپ است:

M ⊗_S N

عمل R روی این تانسور به صورت زیر تعریف می‌شود:

r(m ⊗ n) = (rm) ⊗ n

بنابراین تابع‌گر زیر تعریف می‌شود:

F = M ⊗_S − : S-Mod → R-Mod

از سوی دیگر، برای هر R ـمدول چپ P، مجموعهٔ همریختی‌های R ـمدولی از M به P را در نظر می‌گیریم:

Hom_R(M , P)

این مجموعه یک S ـمدول چپ است. عمل S به صورت زیر تعریف می‌شود:

(s · f)(m) = f(ms)

در نتیجه تابع‌گر دوم چنین است:

G = Hom_R(M , −) : R-Mod → S-Mod

الحاق اصلی عبارت است از:

M ⊗_S − ⊣ Hom_R(M , −)

یعنی برای هر S ـمدول چپ N و هر R ـمدول چپ P، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

Hom_R(M ⊗_S N , P)

≅

Hom_S(N , Hom_R(M , P))

۳. ساختن نگاشت در جهت نخست

فرض کنیم همریختی R ـمدولی زیر را داشته باشیم:

φ : M ⊗_S N → P

از φ، همریختی S ـمدولی زیر را می‌سازیم:

φ̃ : N → Hom_R(M , P)

برای هر n از N، نگاشت φ̃(n) را چنین تعریف می‌کنیم:

φ̃(n)(m) = φ(m ⊗ n)

پس هر عنصر n، یک همریختی R ـمدولی از M به P تولید می‌کند.

در واقع، φ یک تابع تانسوری است و φ̃ نسخهٔ کِری‌شدهٔ همان تابع به شمار می‌آید.

۴. ساختن نگاشت در جهت عکس

اکنون فرض کنیم همریختی S ـمدولی زیر را داشته باشیم:

ψ : N → Hom_R(M , P)

از ψ، همریختی R ـمدولی زیر را تعریف می‌کنیم:

ψ̂ : M ⊗_S N → P

مقدار آن روی تانسورهای ساده چنین است:

ψ̂(m ⊗ n) = ψ(n)(m)

این همان قاعدهٔ ارزیابی است: ابتدا n را به تابع ψ(n) می‌فرستیم و سپس آن تابع را روی m اعمال می‌کنیم.

۵. دلیل خوش‌تعریف بودن نگاشت عکس

برای آنکه ψ̂ به طور صحیح روی تانسور تعریف شود، باید با رابطهٔ تانسوری سازگار باشد. مهم‌ترین رابطه چنین است:

(ms) ⊗ n = m ⊗ (sn)

از یک سو داریم:

ψ̂((ms) ⊗

=

ψ(n)(ms)

از سوی دیگر:

ψ̂(m ⊗ sn)

=

ψ(sn)(m)

چون ψ یک همریختی S ـمدولی است:

ψ(sn) = s · ψ(n)

و بنا بر تعریف عمل S روی هوم:

(s · ψ(n))(m) = ψ(n)(ms)

پس دو مقدار با یکدیگر برابرند و تعریف ψ̂ خوش‌تعریف است.

۶. انتخاب دوقیدی در ردهٔ گروه‌های آبلی

اکنون R و S را هر دو برابر ℤ می‌گیریم و دوقیدی ثابت خود را چنین انتخاب می‌کنیم:

M = ℤₙ = ℤ ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nℤ

در اینجا عمل چپ و راست ℤ همان ضرب معمول عدد صحیح است و با یکدیگر سازگارند.

بنابراین دو تابع‌گر زیر از ردهٔ گروه‌های آبلی به خودش داریم:

F(N) = ℤₙ ⊗ N

G(P) = Hom(ℤₙ , P)

الحاق مربوط به این دو تابع‌گر چنین است:

ℤₙ ⊗ − ⊣ Hom(ℤₙ , −)

و تناظر طبیعی آن:

Hom(ℤₙ ⊗ N , P)

≅

Hom(N , Hom(ℤₙ , P))

۷. محاسبهٔ تابع‌گر تانسور

برای هر گروه آبلی N، رابطهٔ مهم زیر برقرار است:

ℤₙ ⊗ N ≅ N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN

در اینجا nN زیرگروهی است که از مضرب‌های n ـبرابر عناصر N تشکیل می‌شود:

nN = { nx │ x ∈ N }

علت این رابطه آن است که در تانسور، عنصر n از ℤₙ صفر است. بنابراین برای هر x از N داریم:

0 ⊗ x = n ⊗ x = 1 ⊗ nx

از این رو، همهٔ عناصر nx در سمت N به صفر تبدیل می‌شوند و نتیجه، خارج‌قسمت N بر nN است.

۸. محاسبهٔ تابع‌گر هوم

هر همریختی از ℤₙ به P با تصویر عنصر مولد ۱ به طور کامل تعیین می‌شود.

اما تصویر ۱ باید شرط زیر را برآورده کند:

n · f(1) = f(n · 1) = f(0) = 0

پس تصویر ۱ باید در زیرگروه زیر قرار داشته باشد:

P[n] = { p ∈ P │ np = 0 }

بنابراین:

Hom(ℤₙ , P) ≅ P[n]

در نتیجه، الحاق پیشین به صورت زیر بازنویسی می‌شود:

Hom(N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN , P)

≅

Hom(N , P[n])

این برابری طبیعی، شکل بسیار روشن و ملموس الحاق تانسور و هوم در ردهٔ گروه‌های آبلی است.

۹. مثال عددی کامل

اکنون انتخاب می‌کنیم:

n = 2

N = ℤ₄

P = ℤ₆

ابتدا سمت تانسوری را محاسبه می‌کنیم:

ℤ₂ ⊗ ℤ₄ ≅ ℤ₄ ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ 2ℤ₄

در ℤ₄، زیرگروه 2ℤ₄ برابر است با:

2ℤ₄ = { 0 , 2 }

پس:

ℤ₄ ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ 2ℤ₄ ≅ ℤ₂

بنابراین سمت چپ تناظر برابر است با:

Hom(ℤ₂ ⊗ ℤ₄ , ℤ₆)

≅

Hom(ℤ₂ , ℤ₆)

اکنون همهٔ همریختی‌ها از ℤ₂ به ℤ₆ را بررسی می‌کنیم.

تصویر مولد ℤ₂ باید عنصری از ℤ₆ باشد که دو برابر آن صفر است:

ℤ₆[2] = { 0 , 3 }

پس:

Hom(ℤ₂ , ℤ₆) ≅ ℤ₂

در سمت راست، ابتدا هوم داخلی را محاسبه می‌کنیم:

Hom(ℤ₂ , ℤ₆) ≅ ℤ₆[2] ≅ ℤ₂

در نتیجه:

Hom(ℤ₄ , Hom(ℤ₂ , ℤ₆))

≅

Hom(ℤ₄ , ℤ₂)

یک همریختی از ℤ₄ به ℤ₂ با تصویر مولد ۱ در یکی از دو عنصر ۰ یا ۱ تعیین می‌شود. بنابراین:

Hom(ℤ₄ , ℤ₂) ≅ ℤ₂

پس دو طرف الحاق هم‌ساختارند:

Hom(ℤ₂ ⊗ ℤ₄ , ℤ₆)

≅

Hom(ℤ₄ , Hom(ℤ₂ , ℤ₆))

≅

ℤ₂

۱۰. نوشتن تناظر در سطح عناصر

فرض کنید:

φ : ℤ₂ ⊗ ℤ₄ → ℤ₆

برای ساختن همریختی متناظر، هر a از ℤ₄ را به تابعی از ℤ₂ به ℤ₆ می‌فرستیم:

φ̃(a)(b) = φ(b ⊗ a)

در جهت عکس، اگر داشته باشیم:

ψ : ℤ₄ → Hom(ℤ₂ , ℤ₆)

نگاشت متناظر روی تانسورهای ساده چنین است:

ψ̂(b ⊗ a) = ψ(a)(b)

در اینجا تنها دو انتخاب ممکن برای تصویر مولد در سمت هوم وجود دارد: عنصر صفر یا عنصر ۳ از ℤ₆.

۱۱. واحد الحاق

واحد الحاق، برای هر گروه آبلی N، نگاشتی از N به هوم داخلی است:

η_N : N → Hom(ℤₙ , ℤₙ ⊗ N)

چون ℤₙ ⊗ N با N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN هم‌ریخت است، می‌توان واحد را چنین نوشت:

η_N : N → Hom(ℤₙ , N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN)

برای x از N، مقدار η_N(x) نگاشتی است که مولد ℤₙ را به کلاس x می‌فرستد:

η_N(x)(1) = x + nN

این تعریف درست است، زیرا در خارج‌قسمت N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN داریم:

n(x + nN) = nx + nN = 0

۱۲. هم‌واحد الحاق

هم‌واحد الحاق، نگاشت ارزیابی زیر است:

ε_P : ℤₙ ⊗ Hom(ℤₙ , P) → P

روی تانسورهای ساده، چنین عمل می‌کند:

ε_P(b ⊗ f) = f(b)

اگر f با عنصر p از P[n] متناظر باشد، آنگاه:

f(b) = bp

پس هم‌واحد، حاصل تانسور کردن یک عنصر از ℤₙ با یک عنصر n ـپیچشی را به مقدار حاصل اعمال آن همریختی تبدیل می‌کند.

۱۳. معنای رده‌ای مثال

این مثال نشان می‌دهد که الحاق، تنها یک هم‌ریختی اتفاقی میان دو گروه نیست؛ بلکه تناظری طبیعی میان دو شیوهٔ ساختن نگاشت است.

در سوی نخست، ابتدا N را با M تانسور می‌کنیم و سپس از حاصل، به P نگاشت می‌سازیم:

N

→

M ⊗ N

→

P

در سوی دوم، مستقیماً از N به مجموعهٔ همریختی‌های M به P نگاشت می‌سازیم:

N

→

Hom(M , P)

در مثال گروه‌های آبلی، این دو دیدگاه به صورت زیر آشکار می‌شوند:

تانسور با ℤₙ

:

N ↦ N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN

هوم از ℤₙ

:

P ↦ P[n]

پس الحاق میان «خارج‌قسمت‌گیری از مبدأ» و «انتخاب عناصر پیچشی در مقصد» پلی برقرار می‌کند:

Hom(N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN , P)

≅

Hom(N , P[n])

جمع‌بندی نهایی

دوقیدی M از نوع R و S، تابع‌گر تانسور زیر را پدید می‌آورد:

M ⊗_S − : S-Mod → R-Mod

و تابع‌گر هوم متناظر چنین است:

Hom_R(M , −) : R-Mod → S-Mod

الحاق این دو تابع‌گر:

M ⊗_S − ⊣ Hom_R(M , −)

در حالت گروه‌های آبلی و M = ℤₙ به فرمول بنیادین زیر تبدیل می‌شود:

Hom(N ‌‌‌‌‌‌‌‌ ⁄ nN , P)

≅

Hom(N , P[n])

این رابطه نشان می‌دهد که تانسور، ساختار مبدأ را با یک رابطهٔ خطی فرو می‌کاهد؛

و هوم، در مقصد عناصری را برمی‌گزیند که همان رابطه را ارضا می‌کنند.

در این هماهنگی ظریف، الحاق چون پلی است میان «تحمیل رابطه» و «آشکار شدن هستهٔ رابطه»؛

میان فروکاستن و یافتن، میان تانسور و هوم.