ریاضیات

مثال کامل از الحاق میان تابع‌گر تانسور و تابع‌گر هوم

در این مثال، یکی از مهم‌ترین الحاق‌های نظریهٔ رده‌ها را بررسی می‌کنیم:

الحاق میان «تانسور کردن با یک مدول ثابت» و «گرفتن مجموعهٔ همریختی‌ها».

این الحاق در جبر همولوژیک، هندسهٔ جبری، نظریهٔ مدول‌ها و فضاهای برداری نقش اساسی دارد.

۱. فرض‌های اولیه

فرض کنیم R یک حلقهٔ جابجایی‌پذیر باشد و M یک R ـمدول ثابت.

ردهٔ R ـمدول‌ها را با نماد زیر نشان می‌دهیم:

R-Mod

اشیای این رده، R ـمدول‌ها و ریخت‌های آن، همریختی‌های R ـمدولی هستند.

برای هر R ـمدول N، می‌توانیم حاصل‌ضرب تانسوری زیر را بسازیم:

M ⊗_R N

پس با ثابت نگه داشتن M، تابع‌گر زیر به دست می‌آید:

M ⊗_R − : R-Mod → R-Mod

از سوی دیگر، برای هر R ـمدول P، مجموعهٔ همهٔ همریختی‌های R ـمدولی از M به P را در نظر می‌گیریم:

Hom_R(M , P)

چون R جابجایی‌پذیر است، این مجموعه خود به طور طبیعی یک R ـمدول است.

بنابراین تابع‌گر دیگری داریم:

Hom_R(M , −) : R-Mod → R-Mod

۲. بیان اصلی الحاق

این دو تابع‌گر یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند:

M ⊗_R − ⊣ Hom_R(M , −)

یعنی برای هر دو R ـمدول N و P، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

Hom_R(M ⊗_R N , P)

≅

Hom_R(N , Hom_R(M , P))

این فرمول می‌گوید که دادن یک همریختی از M ⊗_R N به P،

دقیقاً همانند دادن یک همریختی از N به مدول Hom_R(M , P) است.

۳. از همریختی تانسوری به همریختی هوم

فرض کنیم همریختی زیر را داشته باشیم:

φ : M ⊗_R N → P

از φ می‌توان همریختی زیر را ساخت:

φ̃ : N → Hom_R(M , P)

برای هر n از N، مقدار φ̃(n) یک همریختی از M به P است.

تعریف آن چنین است:

φ̃(n)(m) = φ(m ⊗ n)

به بیان دیگر، برای هر n، متغیر n را ثابت می‌کنیم و تابعی از m به P به دست می‌آوریم.

این عمل، شکل مدولیِ «کِری‌سازی» است.

تابع دو متغیرهٔ زیر:

(m , n) ↦ φ(m ⊗ n)

به تابعی تبدیل می‌شود که برای هر n، یک تابع از M به P تولید می‌کند:

n ↦ φ̃(n)

۴. از همریختی هوم به همریختی تانسوری

اکنون برعکس، فرض کنیم همریختی زیر را داشته باشیم:

ψ : N → Hom_R(M , P)

از ψ می‌توان همریختی زیر را ساخت:

ψ̂ : M ⊗_R N → P

این همریختی روی تانسورهای ساده با رابطهٔ زیر تعریف می‌شود:

ψ̂(m ⊗ n) = ψ(n)(m)

یعنی ابتدا n را به تابع ψ(n) می‌فرستیم و سپس آن تابع را روی m اعمال می‌کنیم.

چون ψ و هر یک از ψ(n)ها R ـخطی‌اند، این تعریف به یک همریختی یکتا روی کل M ⊗_R N گسترش می‌یابد.

۵. چرا این تعریف خوش‌تعریف است؟

تانسور M ⊗_R N از زوج‌های مرتب m و n ساخته می‌شود، اما در آن روابط خطی زیر برقرارند:

(m + m′) ⊗ n = m ⊗ n + m′ ⊗ n

m ⊗ (n + n′) = m ⊗ n + m ⊗ n′

(rm) ⊗ n = m ⊗ (rn)

اکنون برای تعریف ψ̂ باید این روابط حفظ شوند.

برای نمونه:

ψ̂((rm) ⊗ n)

=

ψ(n)(rm)

=

rψ(n)(m)

و از سوی دیگر:

ψ̂(m ⊗ rn)

=

ψ(rn)(m)

=

rψ(n)(m)

پس مقدار تعریف‌شده با روابط تانسوری سازگار است و بنابراین خوش‌تعریف می‌باشد.

۶. مثال در ردهٔ فضاهای برداری

اکنون R را میدان اعداد حقیقی در نظر بگیریم:

R = ℝ

و سه فضای برداری زیر را انتخاب کنیم:

M = ℝ²

N = ℝ³

P = ℝ

یک تابع دوخطی از ℝ² × ℝ³ به ℝ تعریف می‌کنیم:

b((x₁ , x₂) , (y₁ , y₂ , y₃))

=

x₁y₁ + x₂y₂

به دلیل دوخطی بودن b، یک همریختی خطی یکتا از M ⊗

φ : ℝ² ⊗

φ : ℝ² ⊗_ℝ ℝ³ → ℝ

که بر تانسورهای ساده چنین عمل می‌کند:

φ((x₁ , x₂) ⊗ (y₁ , y₂ , y₃))

=

x₁y₁ + x₂y₂

اکنون الحاق به ما می‌گوید که φ معادل همریختی خطی زیر است:

φ̃ : ℝ³ → Hom_ℝ(ℝ² , ℝ)

این همریختی برای بردار n چنین تعریف می‌شود:

φ̃(y₁ , y₂ , y₃)(x₁ , x₂)

=

x₁y₁ + x₂y₂

پس هر بردار از ℝ³، یک تابع خطی از ℝ² به ℝ تعیین می‌کند.

در حقیقت، الحاق یک تابع دوخطی را به خانواده‌ای از تابع‌های خطی تبدیل می‌کند.

۷. واحد الحاق

واحد الحاق، برای هر R ـمدول N، همریختی زیر است:

η_N : N → Hom_R(M , M ⊗_R N)

برای هر n از N، تابع η_N(n) از M به M ⊗_R N چنین تعریف می‌شود:

η_N(n)(m) = m ⊗ n

بنابراین هر عنصر n، به روشی طبیعی یک تابع از M به تانسور M ⊗_R N می‌سازد.

۸. هم‌واحد الحاق

هم‌واحد الحاق، برای هر R ـمدول P، همریختی ارزیابی زیر است:

ε_P :

M ⊗_R Hom_R(M , P) → P

این همریختی روی تانسورهای ساده چنین عمل می‌کند:

ε_P(m ⊗ f) = f(m)

در اینجا m عنصری از M و f همریختی‌ای از M به P است.

پس ε_P همان تابع ارزیابی است: تابع f را روی عنصر m اعمال می‌کنیم.

۹. روابط مثلثی الحاق

واحد و هم‌واحد، دو رابطهٔ مثلثی مهم را ارضا می‌کنند.

نخست، از N به N می‌رویم:

N

→

Hom_R(M , M ⊗_R N)

→

N

در سطح عناصر، این مسیر چنین معنا می‌دهد:

n

↦

[m ↦ m ⊗ n]

↦

n

رابطهٔ دوم نیز از M ⊗_R Hom_R(M , P) به P و سپس بازگشت به همان ساختار مربوط می‌شود.

این دو رابطه تضمین می‌کنند که واحد و هم‌واحد، واقعاً یک الحاق را تشکیل می‌دهند.

۱۰. حالت ویژهٔ فضاهای متناهی‌بعدی

اگر M یک فضای برداری متناهی‌بعدی باشد، می‌توان تابع‌گر هوم را با فضای دوگان M⁎ مرتبط کرد:

Hom_R(M , P) ≅ M⁎ ⊗_R P

در این حالت، الحاق تانسور و هوم به رابطه‌ای میان فضای دوگان و تانسور تبدیل می‌شود.

این موضوع در هندسهٔ دیفرانسیل، فیزیک ریاضی و نظریهٔ میدان کوانتومی اهمیت فراوان دارد.

جمع‌بندی

M ⊗_R − ⊣ Hom_R(M , −)

Hom_R(M ⊗_R N , P)

≅

Hom_R(N , Hom_R(M , P))

واحد الحاق:

η_N(n)(m) = m ⊗ n

هم‌واحد الحاق:

ε_P(m ⊗ f) = f(m)

در این مثال، تانسور کردن، دو ورودی را در یک ساختار واحد جمع می‌کند؛

و تابع‌گر هوم، همان رابطه را به صورت خانواده‌ای ازیک‌‌ها آشکار می‌سازد.

الحاق، پلی است میان این دو نگاه:

یک‌سو «ترکیب و اتصال»، و سوی دیگر «نگاشت و ارزیابی».