ریاضیات

مثال کامل از الحاق میان دو تابع‌گر

یکی از کلاسیک‌ترین و مهم‌ترین مثال‌ها از الحاق میان دو تابع‌گر، در ردهٔ مجموعه‌ها رخ می‌دهد.

در این مثال، یک مجموعهٔ ثابت A را در نظر می‌گیریم و دو تابع‌گر زیر را می‌سازیم:

F(X) = A × X

G(B) = Bᴬ

در اینجا F هر مجموعهٔ X را به حاصل‌ضرب دکارتی A × X می‌برد و G هر مجموعهٔ B را به مجموعهٔ تمام توابع از A به B.

این دو تابع‌گر یک زوج الحاقی‌اند، یعنی برای هر دو مجموعهٔ X و B تناظر طبیعی زیر برقرار است:

HomSet(A × X , B) ≅ HomSet(X , Bᴬ)

این تناظر را می‌توان به صورت صریح نیز نوشت. اگر تابعی داشته باشیم به شکل:

h : A × X → B

آنگاه تابع متناظر آن چنین است:

ĥ : X → Bᴬ

که برای هر x از X، یک تابع از A به B می‌سازد. یعنی:

ĥ(x)(a) = h(a , x)

و برعکس، اگر تابعی از X به Bᴬ داشته باشیم، می‌توان از آن یک تابع از A × X به B ساخت.

واحد و هم‌واحد الحاق

واحد این الحاق، برای هر مجموعهٔ X، تابعی است از X به

(A × X)ᴬ:

ηX : X → (A × X)ᴬ

و برای هر x از X چنین تعریف می‌شود:

ηX(x)(a) = (a , x)

هم‌واحد نیز برای هر مجموعهٔ B، تابعی است از A × Bᴬ به B:

εB : A × Bᴬ → B

εB(a , f) = f(a)

این همان تابع ارزیابی است.

مثال عددی

فرض کنید A = {0,1} و B = {قرمز، آبی} باشد.

در این صورت، Bᴬ مجموعهٔ همهٔ توابع از {0,1} به {قرمز، آبی} است.

چنین تابعی دقیقاً با تعیین دو مقدار مشخص می‌شود:

f(0) , f(1)

پس:

|Bᴬ| = 2² = 4

اکنون اگر X = {x₁ , x₂} باشد، آنگاه یک تابع

h : A × X → B

برای هر یک از دو عنصر x₁ و x₂، دو خروجی تعیین می‌کند؛

یعنی همان داده‌ای را دارد که یک تابع

ĥ : X → Bᴬ

دارد، زیرا هر xᵢ به یکی از آن 4 تابع ممکن از A به B فرستاده می‌شود.

جمع‌بندی

پس این مثال کامل نشان می‌دهد که:

A × − ⊣ (−)ᴬ

یعنی ضرب دکارتی با A، تابع‌گر چپ‌الحاق است و تابع‌گر توان با A، تابع‌گر راست‌الحاق.

این یکی از بنیادی‌ترین نمونه‌های الحاق در نظریهٔ رده‌هاست و در بسیاری از شاخه‌های ریاضی و علوم رایانه کاربرد دارد.