ریاضیات

مثال کاربردی ترکیبی از الحاق میان دو تابع‌گر

در ردهٔ مجموعه‌ها، یک مثال بسیار مهم و شهودی از الحاق میان دو تابع‌گر، زوجِ
تابع‌گرِ «ضرب دکارتی با یک مجموعهٔ ثابت» و «تابع‌گر توان» است.

یک مجموعهٔ ثابت A را در نظر بگیرید. دو تابع‌گر زیر را تعریف می‌کنیم:

F(X) = A × X

G(B) = Bᴬ

در اینجا F هر مجموعهٔ X را به حاصل‌ضرب دکارتی A × X می‌برد و G هر مجموعهٔ B را
به مجموعهٔ همهٔ توابع از A به B.

این دو تابع‌گر یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند. یعنی برای هر دو مجموعهٔ X و B،
تناظر طبیعی زیر برقرار است:

HomSet(A × X , B) ≅ HomSet(X , Bᴬ)

معنای این تناظر آن است که هر تابع از A × X به B را می‌توان به‌طور یکتا به
یک تابع از X به Bᴬ تبدیل کرد، و برعکس.

خوانش کاربردی

فرض کنید A مجموعهٔ «ورودی‌های ثابت» باشد، X مجموعهٔ «حالت‌ها» و B مجموعهٔ «خروجی‌ها».

آنگاه یک تابع

h : A × X → B

یعنی برای هر ورودی a از A و هر حالت x از X، یک خروجی در B می‌دهد.

این همان داده‌ای است که می‌توان آن را به شکل یک تابع دیگر نوشت:

ĥ : X → Bᴬ

که در آن هر حالت x به یک تابع از A به B فرستاده می‌شود.
به بیان دیگر، برای هر x، یک پاسخ‌نامهٔ کامل روی همهٔ عناصر A داریم.

رابطهٔ میان این دو تابع چنین است:

ĥ(x)(a) = h(a , x)

پس الحاق در این مثال، همان تبدیل یک تابعِ دوورودی به یک تابعِ تک‌ورودی با
خروجیِ تابعی است.

نمونهٔ ملموس

اگر A = {قرمز، آبی} باشد، X مجموعهٔ دماها و B مجموعهٔ اعداد واقعی، آنگاه:

h : {قرمز، آبی} × X → ℝ

می‌تواند برای هر دما، دو مقدار بدهد: یکی مربوط به قرمز و یکی مربوط به آبی.
این همان داده‌ای است که به صورت زیر نیز نوشته می‌شود:

ĥ : X → ℝᴬ

یعنی هر دما به یک تابع از A به ℝ می‌رود؛
و آن تابع، برای هر رنگ یک عدد واقعی برمی‌گرداند.

واحد و هم‌واحد

در این مثال، واحد الحاق چنین است:

ηX : X → (A × X)ᴬ

ηX(x)(a) = (a , x)

و هم‌واحد نیز تابع ارزیابی است:

εB : A × Bᴬ → B

εB(a , f) = f(a)

جمع‌بندی

پس یک مثال روشن از الحاق میان دو تابع‌گر، زوج زیر است:

A × − ⊣ (−)ᴬ

این مثال، هم از نظر ریاضی استاندارد است و هم از نظر کاربردی بسیار شهودی:
ضرب دکارتی، ورودیِ ثابت را وارد می‌کند و تابع‌گر توان، خروجی را به زبان توابع بازنویسی می‌کند.