ریاضیات

مثال ترکیبی: تابع‌گرها، الحاق و لم یُونِدا در ردهٔ مجموعه‌ها

در این مثال، چند مفهوم مهم نظریهٔ رده‌ها را در ردهٔ مجموعه‌ها، یعنی Set، بررسی می‌کنیم. هدف، مشاهدهٔ نقش تابع‌گرها، زوج‌های الحاقی و لم یُونِدا در یک نمونهٔ ساده است.

۱. تابع‌گر ضرب با یک مجموعهٔ ثابت

یک مجموعهٔ ثابت A را در نظر بگیرید. تابع‌گر F هر مجموعهٔ X را به حاصل‌ضرب دکارتی A و X می‌فرستد:

F(X) = A × X

اگر تابعی مانند f از X به Y داشته باشیم، تابع‌گر F آن را به تابع زیر می‌فرستد:

F(f) = ۱A × f : A × X → A × Y

یعنی مؤلفهٔ اول بدون تغییر باقی می‌ماند و تابع f فقط بر مؤلفهٔ دوم اثر می‌گذارد.

۲. تابع‌گر توان

اکنون تابع‌گر G را تعریف می‌کنیم. این تابع‌گر هر مجموعهٔ B را به مجموعهٔ همهٔ توابع از A به B می‌فرستد:

G(B) = Bᴬ

نماد Bᴬ به معنای مجموعهٔ تمام توابع از A به B است. اگر تابعی مانند g از B به C داشته باشیم، تابع‌گر G تابع زیر را تولید می‌کند:

G(g) : Bᴬ → Cᴬ

این تابع، هر تابع از A به B را با g ترکیب می‌کند و تابعی از A به C می‌سازد.

۳. الحاق میان دو تابع‌گر

تابع‌گرهای F و G یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند. این مطلب با تناظر طبیعی زیر بیان می‌شود:

HomSet(A × X , B) ≅ HomSet(X , Bᴬ)

معنای این رابطه آن است که دادن یک تابع از A × X به B، دقیقاً همان اطلاعاتی را در اختیار ما می‌گذارد که دادن یک تابع از X به Bᴬ.

به بیان ساده‌تر، هر تابع زیر:

h : A × X → B

به تابع متناظر زیر تبدیل می‌شود:

ĥ : X → Bᴬ

که برای هر x از X، تابع ĥ(x) یک تابع از A به B است و مقدار آن چنین تعیین می‌شود:

ĥ(x)(a) = h(a , x)

این فرایند را گاهی «جابجایی متغیرها» یا «کِری‌سازی» می‌نامند.

۴. واحد و هم‌واحد این الحاق

واحد الحاق، برای هر مجموعهٔ X، تابعی از X به مجموعهٔ توابع از A به A × X است:

ηX : X → (A × X)ᴬ

برای هر x از X، تابع ηX(x) چنین است:

ηX(x)(a) = (a , x)

هم‌واحد الحاق نیز برای هر مجموعهٔ B، تابعی از A × Bᴬ به B است:

εB : A × Bᴬ → B

این تابع با ارزیابی یک تابع در یک عنصر تعریف می‌شود:

εB(a , f) = f(a)

پس هم‌واحد در این مثال همان «تابع ارزیابی» است.

۵. کاربرد لم یُونِدا برای مجموعهٔ تک‌عضوی

اکنون مجموعهٔ تک‌عضوی زیر را در نظر بگیرید:

A = {a}

هر تابع از مجموعهٔ تک‌عضوی {a} به یک مجموعهٔ X، تنها با انتخاب یک عنصر از X تعیین می‌شود. بنابراین، میان مجموعهٔ توابع از {a} به X و خود X تناظر طبیعی وجود دارد:

HomSet({a} , X) ≅ X

پس تابع‌گر HomSet({a} , −) با تابع‌گر همانی روی Set یکریختی طبیعی دارد.

اکنون تابع‌گر H را به صورت زیر در نظر بگیرید:

H(X) = X × X

طبق لم یُونِدا، تبدیل‌های طبیعی از تابع‌گر HomSet({a} , −) به H با عناصر H({a}) متناظرند:

Nat(HomSet({a} , −) , H) ≅ H({a})

اما داریم:

H({a}) = {a} × {a} = {(a , a)}

بنابراین تنها یک تبدیل طبیعی از تابع‌گر همانی Set به تابع‌گر H وجود دارد. مؤلفهٔ این تبدیل طبیعی برای هر مجموعهٔ X چنین است:

x ↦ (x , x)

یعنی هر عنصر x از X به زوج مرتب (x ، x) فرستاده می‌شود.

۶. جمع‌بندی

این مثال سه نکتهٔ مهم را نشان می‌دهد:

• تابع‌گر ضرب با A، هر مجموعه را به A × X می‌فرستد.


• تابع‌گر توان، هر مجموعه را به مجموعهٔ توابع از A به آن مجموعه می‌فرستد.


• این دو تابع‌گر با تناظر طبیعی میان مجموعه‌های Hom یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند.


• لم یُونِدا نشان می‌دهد که تبدیل‌های طبیعی از تابع‌گر Hom به یک تابع‌گر دیگر، با عناصر مقدار آن تابع‌گر روی شیء نماینده متناظر هستند.