ریاضیات

درس پنجم: زوج‌های تابع‌گر الحاقی

۱. تعریف الحاق

فرض کنید دو ردهٔ C و D و دو تابع‌گر زیر داشته باشیم:

F : C → D

G : D → C

می‌گوییم F تابع‌گر چپ‌الحاق G است و G تابع‌گر راست‌الحاق F است، هرگاه برای هر شیء A در C و هر شیء B در D، تناظر طبیعی زیر برقرار باشد:

HomD(F(A) , B) ≅ HomC(A , G(B))

این رابطه را به صورت زیر نیز می‌نویسیم:

F ⊣ G

۲. معنای رابطهٔ هوم

سمت چپ رابطه شامل ریخت‌هایی از F(A) به B است:

F(A) → B

سمت راست شامل ریخت‌هایی از A به G(B) است:

A → G(B)

الحاق می‌گوید این دو نوع ریخت، اگرچه در دو ردهٔ متفاوت قرار دارند، به‌صورت طبیعی و دوسویه با یکدیگر متناظرند.

۳. واحد الحاق

از یک زوج الحاقی F ⊣ G، تبدیل طبیعی زیر به دست می‌آید:

η : ۱C ⇒ G ∘ F

مؤلفهٔ η در شیء A، ریختی از A به G(F(A)) است:

ηA : A → G(F(A))

به η واحد الحاق گفته می‌شود.

۴. هم‌واحد الحاق

تبدیل طبیعی دوم چنین است:

ε : F ∘ G ⇒ ۱D

مؤلفهٔ ε در شیء B، ریختی از F(G(B)) به B است:

εB : F(G(B)) → B

به ε هم‌واحد الحاق گفته می‌شود.

۵. روابط مثلثی

واحد و هم‌واحد باید با یکدیگر سازگار باشند. این سازگاری با دو رابطهٔ مثلثی بیان می‌شود:

εF(A) ∘ F(ηA) = ۱F(A)

G(εB) ∘ ηG(B) = ۱G(B)

این دو رابطه تضمین می‌کنند که ترکیب رفت‌وبرگشت‌های حاصل از الحاق، به ریخت همانی منتهی شود.

۶. مثال: تابع‌گر آزاد و فراموش‌کار

تابع‌گر فراموش‌کار از ردهٔ گروه‌ها به ردهٔ مجموعه‌ها، ساختار گروهی را کنار می‌گذارد و فقط مجموعهٔ زیرین هر گروه را نگه می‌دارد:

U : Grp → Set

تابع‌گر گروه آزاد، هر مجموعه را به گروه آزادی که آن مجموعه مولد آن است، می‌فرستد:

F : Set → Grp

این دو تابع‌گر یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند:

F ⊣ U

یعنی برای هر مجموعهٔ X و هر گروه G، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

HomGrp(F(X) , G) ≅ HomSet(X , U(G))

هر تابع از X به مجموعهٔ زیرین G، به‌طور یکتا به یک همریختی گروهی از F(X) به G گسترش می‌یابد.

۷. مثال: تفسیر در ردهٔ مدول‌ها

در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ R نیز رابطهٔ الحاقی معمولاً به‌وسیلهٔ تناظر میان مجموعه‌های هوم و تانسور بیان می‌شود:

HomR(M ⊗R N , P)

≅

HomR(N , HomR(M , P))

این رابطه نشان می‌دهد که ریخت‌های خروجی از حاصل‌ضرب تانسوری، با ریخت‌هایی که به‌صورت تابعی هوم مقدار می‌گیرند، متناظرند.

۸. تفاوت الحاق و هم‌ارزی

۹. رابطهٔ الحاق با هم‌ارزی

اگر در یک زوج الحاقی، واحد و هم‌واحد هر دو یکریختی طبیعی باشند، آن زوج الحاقی در حقیقت یک هم‌ارزی میان دو رده ایجاد می‌کند.

G ∘ F ≅ ۱C

F ∘ G ≅ ۱D

اما در حالت عمومی، واحد و هم‌واحد الزاماً یکریختی نیستند؛ بنابراین هر زوج الحاقی، هم‌ارزی نیست.

۱۰. جمع‌بندی درس

زوج الحاقی F ⊣ G با یک تناظر طبیعی میان دو مجموعهٔ هوم تعریف می‌شود:

HomD(F(A) , B) ≅ HomC(A , G(B))

از این تناظر، واحد، هم‌واحد و روابط مثلثی پدید می‌آیند. الحاق یکی از بنیادی‌ترین ابزارهای نظریهٔ رده‌هاست و در جبر، توپولوژی، هندسه و نظریهٔ مدل‌ها کاربرد فراوان دارد.