ریاضیات

درس نخست: تابع‌گر هومِ هم‌ورد

۱. مقدمه

فرض کنید K یک رده و A شیئی ثابت در آن باشد. برای هر شیء X در ردهٔ K، مجموعهٔ همهٔ ریخت‌ها از A به X را در نظر می‌گیریم:

HomK(A , X)

با تغییر X، این مجموعه‌ها به‌صورت یک تابع‌گر از K به ردهٔ مجموعه‌ها درمی‌آیند:

HomK(A , −) : K → Set

۲. اثر تابع‌گر بر اشیا

تابع‌گر HomK(A , −)، هر شیء X را به مجموعهٔ ریخت‌های A به X می‌فرستد:

X ↦ HomK(A , X)

بنابراین اگر X و Y دو شیء از K باشند، دو مجموعهٔ زیر به دست می‌آیند:

HomK(A , X)

HomK(A , Y)

۳. اثر تابع‌گر بر ریخت‌ها

اگر α : X → Y ریختی در K باشد، تابع‌گر هوم نگاشتی میان مجموعه‌های هوم ایجاد می‌کند:

HomK(A , α) : HomK(A , X) → HomK(A , Y)

اگر f : A → X باشد، تصویر f چنین تعریف می‌شود:

HomK(A , α)(f) = α ∘ f

یعنی نخست از A به X می‌رویم و سپس به‌وسیلهٔ α از X به Y حرکت می‌کنیم.

۴. حفظ همانی و ترکیب

برای ریخت همانی داریم:

HomK(A , ۱X)(f) = ۱X ∘ f = f

همچنین اگر α : X → Y و β : Y → Z باشند، آنگاه:

HomK(A , β ∘ α)(f)

=

β ∘ α ∘ f

و از سوی دیگر:

HomK(A , β) ∘ HomK(A , α)(f)

=

β ∘ α ∘ f

پس تابع‌گر هوم همانی‌ها و ترکیب ریخت‌ها را حفظ می‌کند.

۵. مثال در ردهٔ مجموعه‌ها

در ردهٔ Set، اگر A یک مجموعهٔ ثابت باشد، تابع‌گر Hom(A , −) هر مجموعهٔ X را به مجموعهٔ همهٔ توابع از A به X می‌فرستد.

اگر α : X → Y یک تابع باشد، هر تابع f : A → X به تابع زیر فرستاده می‌شود:

α ∘ f : A → Y

۶. جمع‌بندی درس

تابع‌گر HomK(A , −) ریخت‌های خارج‌شونده از شیء ثابت A را بررسی می‌کند. این تابع‌گر، با ترکیب ریخت‌ها از سمت مقصد عمل می‌کند و به همین دلیل هم‌ورد نامیده می‌شود.