ریاضیات

مطالب این پنج صفحه را می‌توان به پنج درس پیوسته تقسیم کرد. ترتیب زیر از تابع‌گرهای هوم آغاز می‌شود و به لم یُونِدا و زوج‌های الحاقی می‌رسد.

# درس نخست: تابع‌گر هومِ هم‌ورد

## شعر آغازین

هر شیء از رهِ پیوند خویش است

نهان در آینهٔ رفتار خویش است

ز او تا هر چه باشد راه جوییم

ز شبکهٔ ارتباطش آگهی جوییم

```html

درس نخست: تابع‌گر هومِ هم‌ورد

۱. مقدمه

فرض کنید K یک رده و A شیئی ثابت در آن باشد. برای هر شیء X در ردهٔ K، مجموعهٔ همهٔ ریخت‌ها از A به X را در نظر می‌گیریم:

HomK(A , X)

با تغییر X، این مجموعه‌ها به‌صورت یک تابع‌گر از K به ردهٔ مجموعه‌ها درمی‌آیند:

HomK(A , −) : K → Set

۲. اثر تابع‌گر بر اشیا

تابع‌گر HomK(A , −)، هر شیء X را به مجموعهٔ ریخت‌های A به X می‌فرستد:

X ↦ HomK(A , X)

بنابراین اگر X و Y دو شیء از K باشند، دو مجموعهٔ زیر به دست می‌آیند:

HomK(A , X)

HomK(A , Y)

۳. اثر تابع‌گر بر ریخت‌ها

اگر α : X → Y ریختی در K باشد، تابع‌گر هوم نگاشتی میان مجموعه‌های هوم ایجاد می‌کند:

HomK(A , α) : HomK(A , X) → HomK(A , Y)

اگر f : A → X باشد، تصویر f چنین تعریف می‌شود:

HomK(A , α)(f) = α ∘ f

یعنی نخست از A به X می‌رویم و سپس به‌وسیلهٔ α از X به Y حرکت می‌کنیم.

۴. حفظ همانی و ترکیب

برای ریخت همانی داریم:

HomK(A , ۱X)(f) = ۱X ∘ f = f

همچنین اگر α : X → Y و β : Y → Z باشند، آنگاه:

HomK(A , β ∘ α)(f)

=

β ∘ α ∘ f

و از سوی دیگر:

HomK(A , β) ∘ HomK(A , α)(f)

=

β ∘ α ∘ f

پس تابع‌گر هوم همانی‌ها و ترکیب ریخت‌ها را حفظ می‌کند.

۵. مثال در ردهٔ مجموعه‌ها

در ردهٔ Set، اگر A یک مجموعهٔ ثابت باشد، تابع‌گر Hom(A , −) هر مجموعهٔ X را به مجموعهٔ همهٔ توابع از A به X می‌فرستد.

اگر α : X → Y یک تابع باشد، هر تابع f : A → X به تابع زیر فرستاده می‌شود:

α ∘ f : A → Y

۶. جمع‌بندی درس

تابع‌گر HomK(A , −) ریخت‌های خارج‌شونده از شیء ثابت A را بررسی می‌کند. این تابع‌گر، با ترکیب ریخت‌ها از سمت مقصد عمل می‌کند و به همین دلیل هم‌ورد نامیده می‌شود.

```

---

# درس دوم: تابع‌گر هومِ پَس‌ورد

## شعر آغازین

گاهی رهِ شناخت از راهِ آمدن است

نه رفتن؛ که هر ورود، آیینهٔ تن است

چو ریختی به مقصدی فرود آید

ز مبدأهای خویش خبرها آورد

```html

درس دوم: تابع‌گر هومِ پَس‌ورد

۱. تعریف تابع‌گر پَس‌ورد

اکنون شیء B را ثابت می‌کنیم و برای هر شیء X، مجموعهٔ ریخت‌ها از X به B را در نظر می‌گیریم:

HomK(X , B)

این ساختار به تابع‌گر پَس‌ورد زیر می‌انجامد:

HomK(− , B) : Kᵒᵖ → Set

نماد Kᵒᵖ ردهٔ مقابل K را نشان می‌دهد؛ در ردهٔ مقابل، جهت همهٔ ریخت‌ها معکوس می‌شود.

۲. اثر تابع‌گر بر ریخت‌ها

فرض کنید α : X → Y ریختی در K باشد. ترکیب با α نگاشتی از HomK(Y , B) به HomK(X , B) ایجاد می‌کند:

HomK(Y , B) → HomK(X , B)

اگر β : Y → B باشد، تصویر آن برابر است با:

β ↦ β ∘ α

در این‌جا ابتدا از X به Y می‌رویم و سپس به‌وسیلهٔ β به B می‌رسیم.

۳. علت پَس‌ورد بودن

ریخت α در K از X به Y می‌رود، اما نگاشت القایی آن میان مجموعه‌های هوم از HomK(Y , B) به HomK(X , B) است. بنابراین جهت نگاشت القایی معکوس می‌شود.

به همین دلیل، تابع‌گر HomK(− , B) تابع‌گری پَس‌ورد است.

۴. حفظ همانی

برای ریخت همانی ۱X داریم:

β ∘ ۱X = β

پس تابع‌گر پَس‌ورد، ریخت‌های همانی را نیز حفظ می‌کند.

۵. حفظ ترکیب با جهت معکوس

فرض کنید:

α : X → Y

γ : Y → Z

اگر β : Z → B باشد، آنگاه:

β ∘ γ ∘ α

به دو شیوهٔ زیر به دست می‌آید:

(β ∘ γ) ∘ α

β ∘ (γ ∘ α)

بر اساس شرکت‌پذیری ترکیب، این دو مقدار برابرند؛ بنابراین تابع‌گر پَس‌ورد نیز ساختار رده‌ای را حفظ می‌کند.

۶. مقایسهٔ دو تابع‌گر هوم

۷. جمع‌بندی درس

تابع‌گر HomK(− , B) ریخت‌هایی را مطالعه می‌کند که به شیء ثابت B وارد می‌شوند. پَس‌ورد بودن آن از معکوس شدن جهت ریخت‌های القایی ناشی می‌شود.

```

---

# درس سوم: نگاشت‌های القایی و تبدیل طبیعی میان تابع‌گرهای هوم

## شعر آغازین

هر ریختی که در رده پدیدار شود

در هوم، سایه‌ای دیگر شود

چو ساختارها به هم پیوند یابند

ز دلِ آن، راه‌های نو برآیند

```html

درس سوم: نگاشت‌های القایی و تبدیل‌های طبیعی

۱. نگاشت القایی در متغیر نخست

فرض کنید α : A′ → A ریختی در ردهٔ K باشد. این ریخت، با ترکیب از سمت چپ، نگاشت زیر را ایجاد می‌کند:

HomK(A , X) → HomK(A′ , X)

اگر f : A → X باشد، آنگاه:

f ↦ f ∘ α

پس هر ریخت α : A′ → A، تابع‌گر HomK(A , −) را به تابع‌گر HomK(A′ , −) مرتبط می‌کند.

۲. تبدیل طبیعی القاشده

برای هر شیء X، نگاشت زیر را تعریف می‌کنیم:

ηX : HomK(A , X) → HomK(A′ , X)

ηX(f) = f ∘ α

خانوادهٔ نگاشت‌های ηX یک تبدیل طبیعی است:

η : HomK(A , −) ⇒ HomK(A′ , −)

۳. شرط طبیعی بودن

اگر γ : X → Y ریختی در K باشد، باید رابطهٔ زیر برقرار باشد:

ηY ∘ HomK(A , γ)

=

HomK(A′ , γ) ∘ ηX

برای بررسی این رابطه، f : A → X را در نظر می‌گیریم. طرف چپ برابر است با:

ηY(γ ∘ f)

=

(γ ∘ f) ∘ α

و طرف راست برابر است با:

HomK(A′ , γ)(f ∘ α)

=

γ ∘ (f ∘ α)

به‌علت شرکت‌پذیری ترکیب، دو طرف برابرند.

۴. تبدیل طبیعی در متغیر دوم

اگر β : B → B′ ریختی باشد، با ترکیب از سمت راست، تبدیل طبیعی زیر به دست می‌آید:

HomK(− , B) ⇒ HomK(− , B′)

در شیء X، مؤلفهٔ این تبدیل چنین است:

θX : HomK(X , B) → HomK(X , B′)

θX(f) = β ∘ f

۵. تفسیر نموداری

HomK(A , X) ─────────▶ HomK(A , Y)
      │ │
      │ │
      ▼ ▼
HomK(A′ , X) ────────▶ HomK(A′ , Y)

جابه‌جایی این نمودار یعنی می‌توان ابتدا در متغیر شیء حرکت کرد و سپس α را ترکیب نمود، یا ابتدا α را ترکیب کرد و سپس در متغیر شیء حرکت کرد؛ نتیجه در هر دو حالت یکسان است.

۶. اهمیت تبدیل‌های طبیعی

تبدیل طبیعی نشان می‌دهد که نگاشت‌های القایی تنها برای یک شیء یا یک ریخت خاص تعریف نشده‌اند؛ بلکه در همهٔ اشیا به‌صورت هماهنگ و سازگار عمل می‌کنند.

این هماهنگی، پایهٔ تعریف لم یُونِدا و مفهوم نمایش‌پذیری تابع‌گرهاست.

۷. جمع‌بندی درس

هر ریخت در یک رده می‌تواند تبدیل طبیعی میان تابع‌گرهای هوم ایجاد کند. در تابع‌گر هومِ هم‌ورد، ترکیب از سمت راست و در تابع‌گر هومِ پَس‌ورد، ترکیب از سمت چپ، نگاشت‌های القایی را پدید می‌آورد.

```

---

# درس چهارم: لم یُونِدا و نمایش‌پذیری تابع‌گرها

## شعر آغازین

شیء را ز نام و صورتش مشناس

ز پیوندش به هر موجود، نشان جوی

هر آن‌چه در جهان آیینه‌دار است

به رفتار خویش آشکار است

```html

درس چهارم: لم یُونِدا و نمایش‌پذیری

۱. صورت اصلی لم یُونِدا

فرض کنید F تابع‌گری هم‌ورد از ردهٔ K به ردهٔ مجموعه‌ها باشد:

F : K → Set

برای هر شیء A در K، لم یُونِدا تناظر طبیعی زیر را بیان می‌کند:

Nat(HomK(A , −) , F) ≅ F(A)

سمت چپ شامل همهٔ تبدیل‌های طبیعی از تابع‌گر HomK(A , −) به F است و سمت راست، مجموعهٔ عناصر F(A) را نشان می‌دهد.

۲. ساخت تبدیل طبیعی از یک عنصر

یک عنصر x از F(A) انتخاب کنید:

x ∈ F(A)

از این عنصر تبدیل طبیعی زیر ساخته می‌شود:

η : HomK(A , −) ⇒ F

برای هر شیء X، مؤلفهٔ η نگاشتی از HomK(A , X) به F(X) است:

ηX : HomK(A , X) → F(X)

اگر f : A → X باشد، تعریف می‌کنیم:

ηX(f) = F(f)(x)

پس هر ریخت f، عنصر x را به عنصری از F(X) منتقل می‌کند.

۳. استخراج عنصر از تبدیل طبیعی

اکنون تبدیل طبیعی η را مفروض می‌گیریم:

η : HomK(A , −) ⇒ F

برای استخراج عنصر متناظر، مؤلفهٔ η در A را روی ریخت همانی ۱A اعمال می‌کنیم:

x = ηA(۱A)

این عنصر همان عنصری است که تبدیل طبیعی η را تعیین می‌کند.

۴. چرا ریخت همانی مهم است؟

هر ریخت f : A → X را می‌توان به صورت تصویر ریخت همانی A در نظر گرفت. طبیعی بودن η تضمین می‌کند که:

ηX(f) = F(f)(ηA(۱A))

بنابراین دانستن مقدار η روی ۱A، مقدار آن را روی همهٔ ریخت‌های f تعیین می‌کند.

۵. نمایش‌پذیری تابع‌گر

اگر تابع‌گر F به‌طور طبیعی با تابع‌گر هوم یک شیء A یکریخت باشد:

F ≅ HomK(A , −)

می‌گوییم F نمایش‌پذیر است و A را نمایش‌دهندهٔ F می‌نامیم.

در این حالت، می‌توان کل رفتار تابع‌گر F را با یک شیء A و ریخت‌های خارج‌شونده از آن توصیف کرد.

۶. تشخیص اشیا

اگر دو شیء A و B چنان باشند که:

HomK(A , −) ≅ HomK(B , −)

آنگاه:

A ≅ B

پس تابع‌گرهای هوم، اشیا را تا یکریختی تعیین می‌کنند.

۷. صورت دوگان لم یُونِدا

صورت دوگان لم یُونِدا چنین است:

Nat(HomK(− , A) , F) ≅ F(A)

در این صورت، F تابع‌گری از ردهٔ مقابل Kᵒᵖ به ردهٔ مجموعه‌هاست.

۸. جمع‌بندی درس

لم یُونِدا می‌گوید تبدیل‌های طبیعی از یک تابع‌گر هوم به F، دقیقاً با عناصر مقدار F در شیء پایه متناظرند. همچنین هر شیء را می‌توان از رفتار آن نسبت به همهٔ اشیای رده، تا یکریختی، شناخت.

```

---

# درس پنجم: تناظرهای هوم و زوج‌های تابع‌گر الحاقی

## شعر آغازین

دو راه اگر به یک معنا رسند

دو تابع‌گر، در کنار هم بنشینند

یکی آغازِ راه و دیگری بازگشت

میانشان پلی ز جنسِ شناخت

نه هر رفت‌وآمد، وارونِ تمام

ولی گاه الحاق آرد انتظام

```html

درس پنجم: زوج‌های تابع‌گر الحاقی

۱. تعریف الحاق

فرض کنید دو ردهٔ C و D و دو تابع‌گر زیر داشته باشیم:

F : C → D

G : D → C

می‌گوییم F تابع‌گر چپ‌الحاق G است و G تابع‌گر راست‌الحاق F است، هرگاه برای هر شیء A در C و هر شیء B در D، تناظر طبیعی زیر برقرار باشد:

HomD(F(A) , B) ≅ HomC(A , G(B))

این رابطه را به صورت زیر نیز می‌نویسیم:

F ⊣ G

۲. معنای رابطهٔ هوم

سمت چپ رابطه شامل ریخت‌هایی از F(A) به B است:

F(A) → B

سمت راست شامل ریخت‌هایی از A به G(B) است:

A → G(B)

الحاق می‌گوید این دو نوع ریخت، اگرچه در دو ردهٔ متفاوت قرار دارند، به‌صورت طبیعی و دوسویه با یکدیگر متناظرند.

۳. واحد الحاق

از یک زوج الحاقی F ⊣ G، تبدیل طبیعی زیر به دست می‌آید:

η : ۱C ⇒ G ∘ F

مؤلفهٔ η در شیء A، ریختی از A به G(F(A)) است:

ηA : A → G(F(A))

به η واحد الحاق گفته می‌شود.

۴. هم‌واحد الحاق

تبدیل طبیعی دوم چنین است:

ε : F ∘ G ⇒ ۱D

مؤلفهٔ ε در شیء B، ریختی از F(G(B)) به B است:

εB : F(G(B)) → B

به ε هم‌واحد الحاق گفته می‌شود.

۵. روابط مثلثی

واحد و هم‌واحد باید با یکدیگر سازگار باشند. این سازگاری با دو رابطهٔ مثلثی بیان می‌شود:

εF(A) ∘ F(ηA) = ۱F(A)

G(εB) ∘ ηG(B) = ۱G(B)

این دو رابطه تضمین می‌کنند که ترکیب رفت‌وبرگشت‌های حاصل از الحاق، به ریخت همانی منتهی شود.

۶. مثال: تابع‌گر آزاد و فراموش‌کار

تابع‌گر فراموش‌کار از ردهٔ گروه‌ها به ردهٔ مجموعه‌ها، ساختار گروهی را کنار می‌گذارد و فقط مجموعهٔ زیرین هر گروه را نگه می‌دارد:

U : Grp → Set

تابع‌گر گروه آزاد، هر مجموعه را به گروه آزادی که آن مجموعه مولد آن است، می‌فرستد:

F : Set → Grp

این دو تابع‌گر یک زوج الحاقی تشکیل می‌دهند:

F ⊣ U

یعنی برای هر مجموعهٔ X و هر گروه G، تناظر طبیعی زیر برقرار است:

HomGrp(F(X) , G) ≅ HomSet(X , U(G))

هر تابع از X به مجموعهٔ زیرین G، به‌طور یکتا به یک همریختی گروهی از F(X) به G گسترش می‌یابد.

۷. مثال: تفسیر در ردهٔ مدول‌ها

در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ R نیز رابطهٔ الحاقی معمولاً به‌وسیلهٔ تناظر میان مجموعه‌های هوم و تانسور بیان می‌شود:

HomR(M ⊗R N , P)

≅

HomR(N , HomR(M , P))

این رابطه نشان می‌دهد که ریخت‌های خروجی از حاصل‌ضرب تانسوری، با ریخت‌هایی که به‌صورت تابعی هوم مقدار می‌گیرند، متناظرند.

۸. تفاوت الحاق و هم‌ارزی

۹. رابطهٔ الحاق با هم‌ارزی

اگر در یک زوج الحاقی، واحد و هم‌واحد هر دو یکریختی طبیعی باشند، آن زوج الحاقی در حقیقت یک هم‌ارزی میان دو رده ایجاد می‌کند.

G ∘ F ≅ ۱C

F ∘ G ≅ ۱D

اما در حالت عمومی، واحد و هم‌واحد الزاماً یکریختی نیستند؛ بنابراین هر زوج الحاقی، هم‌ارزی نیست.

۱۰. جمع‌بندی درس

زوج الحاقی F ⊣ G با یک تناظر طبیعی میان دو مجموعهٔ هوم تعریف می‌شود:

HomD(F(A) , B) ≅ HomC(A , G(B))

از این تناظر، واحد، هم‌واحد و روابط مثلثی پدید می‌آیند. الحاق یکی از بنیادی‌ترین ابزارهای نظریهٔ رده‌هاست و در جبر، توپولوژی، هندسه و نظریهٔ مدل‌ها کاربرد فراوان دارد.

```

## نقشهٔ کلی پنج درس

```text

درس نخست:

تابع‌گر هومِ هم‌ورد

HomK(A , −)

درس دوم:

تابع‌گر هومِ پَس‌ورد

HomK(− , B)

درس سوم:

نگاشت‌های القایی و تبدیل‌های طبیعی میان تابع‌گرهای هوم

درس چهارم:

لم یُونِدا و نمایش‌پذیری تابع‌گرها

درس پنجم:

زوج‌های تابع‌گر الحاقی

F ⊣ G

```

این تقسیم‌بندی، مسیر مفهومی یادداشت‌ها را از **هوم و ترکیب ریخت‌ها** آغاز می‌کند، به **طبیعی بودن و لم یُونِدا** می‌رساند و در پایان به **الحاق، واحد و هم‌واحد** ختم می‌کند.