ریاضیات

ضرب و هم‌ضرب خانواده؛ خاصیت‌های جهانی

۴. خاصیت جهانی ضرب

برای خانوادهٔ اشیاء {Aᵢ} با i ∈ I، ضربِ خانواده، زوجی است متشکل از شیء ∏ Aᵢ و خانوادهٔ ریخت‌های تصویر pⱼ : ∏ Aᵢ → Aⱼ که برای هر j ∈ I خاصیت جهانی زیر را دارد:

اگر X شیء دلخواه و {fᵢ : X → Aᵢ}ᵢ∈I خانوادهٔ ریخت‌ها باشد، آنگاه ریختِ یکتای f : X → ∏ Aᵢ وجود دارد به‌گونه‌ای که برای هر j ∈ I:

pⱼ ∘ f = fⱼ

این ریختِ یکتا را با نماد 〈fᵢ〉 نشان می‌دهند و دیاگرام زیر را جابه‌جا می‌کند:

        X
       / \
  fⱼ / \ 〈fᵢ〉
     / ▼
  Aⱼ ◀─pⱼ── ∏ Aᵢ

به بیان فشرده: ریخت‌های X به اعضای خانواده، دقیقاً با ریخت‌های X به ضرب خانواده متناظرند؛ یعنی نگاشتِ القایی

Mor(X , ∏ Aᵢ) → ∏ Mor(X , Aᵢ) ، f ↦ (pᵢ ∘ f)ᵢ∈I

یک دوسویی است.

۵. خاصیت جهانی هم‌ضرب

هم‌ضرب خانواده {Aᵢ}، زوجی است متشکل از شیء ∐ Aᵢ و خانوادهٔ ریخت‌های شمول ιⱼ : Aⱼ → ∐ Aᵢ که برای هر j ∈ I خاصیت جهانی زیر را دارد:

اگر Y شیء دلخواه و {gᵢ : Aᵢ → Y}ᵢ∈I خانوادهٔ ریخت‌ها باشد، آنگاه ریختِ یکتای g : ∐ Aᵢ → Y وجود دارد به‌گونه‌ای که برای هر j ∈ I:

g ∘ ιⱼ = gⱼ

این ریختِ یکتا را با نماد [gᵢ] نشان می‌دهند و دیاگرام زیر را جابه‌جا می‌کند:

        ∐ Aᵢ
       ▲ \
  ιⱼ / \ g
     / ▼
  Aⱼ ──gⱼ──▶ Y

یعنی ریخت‌های هم‌ضرب به Y، دقیقاً با خانواده‌های ریخت از اعضای خانواده به Y متناظرند:

Mor(∐ Aᵢ , Y) → ∏ Mor(Aᵢ , Y) ، g ↦ (g ∘ ιᵢ)ᵢ∈I

نیز یک دوسویی است.

۶. یکتایی تا یک‌ریختی

قضیه: ضرب یک خانواده، هرگاه وجود داشته باشد، تا یک‌ریختیِ یکتا یکتاست. اگر (P , pⱼ) و (P′ , p′ⱼ) دو ضرب برای خانواده {Aᵢ} باشند، آنگاه یک‌ریختیِ یکتای φ : P → P′ وجود دارد که برای هر j ∈ I:

p′ⱼ ∘ φ = pⱼ

طرح برهان: از خاصیت جهانیِ P′ برای خانوادهٔ pⱼ : P → Aⱼ، ریختِ یکتای φ : P → P′ به دست می‌آید؛ به همین‌سان، از خاصیت جهانیِ P برای خانوادهٔ p′ⱼ، ریختِ یکتای ψ : P′ → P حاصل می‌شود. آنگاه ψ ∘ φ : P → P ریختی است که با خانوادهٔ pⱼ جابه‌جا می‌شود؛ از یکتاییِ ریختِ 〈pⱼ〉 نتیجه می‌شود ψ ∘ φ = id و به همین‌سان φ ∘ ψ = id. پس φ یک‌ریختی است.

همین حکم برای هم‌ضرب نیز برقرار است: هم‌ضرب هر خانواده، تا یک‌ریختیِ یکتا مشخص است. از این رو، «ضرب» و «هم‌ضرب» در هر رده، در صورت وجود، مفاهیمی خوش‌تعریف‌اند.

۷. ضرب و هم‌ضرب در رده‌های شناخته‌شده

الف) در ردهٔ مجموعه‌ها (Set): ضرب همان حاصل‌ضرب دکارتی است و هم‌ضرب همان اجتماعِ مجزا:

∏ Aᵢ = { (aᵢ)ᵢ∈I | aᵢ ∈ Aᵢ } ، ∐ Aᵢ = ⋃ (Aᵢ × {i})

ب) در ردهٔ گروه‌ها (Grp): ضرب، ضربِ مستقیم گروه‌هاست و هم‌ضرب، ضربِ آزاد گروه‌هاست.

ج) در ردهٔ گروه‌های آبلی (Ab) و ردهٔ مدول‌ها (Mod-R): ضرب، ضربِ مستقیم و هم‌ضرب، جمعِ مستقیم است:

∏ Aᵢ = ضرب مستقیم ، ∐ Aᵢ = ⨁ Aᵢ = جمع مستقیم

۸. جمع مستقیم در رده‌های افزایشی؛ دوضرب

در رده‌های افزایشی (مانند Ab و Mod-R)، برای خانوادهٔ متناهی {A₁ , ... , Aₙ}، ضرب و هم‌ضرب هر دو با شیء یکسان — یعنی جمع مستقیم A₁ ⊕ ... ⊕ Aₙ — ساخته می‌شوند؛ چنین شیئی را دوضرب (Biproduct) می‌نامند. در این حالت، تصویرها و شمول‌ها در روابط زیر صدق می‌کنند:

pⱼ ∘ ιₖ = δⱼₖ ، δⱼⱼ = id ، δⱼₖ = ۰ برای j ≠ k

ι₁ ∘ p₁ + ι₂ ∘ p₂ + ... + ιₙ ∘ pₙ = id

رابطهٔ دوم همان تجزیهٔ عضوها به مؤلفه‌هاست: برای هر x از جمع مستقیم،

x = ι₁(p₁(x)) + ι₂(p₂(x)) + ... + ιₙ(pₙ(x))

۹. تابعگونگی ضرب و هم‌ضرب

اگر {fᵢ : Aᵢ → Bᵢ}ᵢ∈I خانوادهٔ ریخت‌ها باشد، آنگاه از خاصیت جهانی، ریختِ یکتای ∏ fᵢ : ∏ Aᵢ → ∏ Bᵢ به دست می‌آید که با تصویرها جابه‌جا می‌شود:

p′ⱼ ∘ (∏ fᵢ) = fⱼ ∘ pⱼ

و به همین‌سان، ریختِ یکتای ∐ fᵢ : ∐ Aᵢ → ∐ Bᵢ که با شمول‌ها جابه‌جا می‌شود:

(∐ fᵢ) ∘ ιⱼ = ι′ⱼ ∘ fⱼ

این سازگاری با ترکیب و ریخت‌های همانی، ضرب و هم‌ضرب را به تابعگون‌هایی از رده‌ها بدل می‌کند و پایهٔ تعریف حدها و هم‌حدها در نظریهٔ رده‌هاست.

۱۰. جمع‌بندی

ضرب و هم‌ضرب خانواده‌ها دو سازهٔ بنیادین نظریهٔ رده‌ها هستند و هر دو از یک الگوی واحد پیروی می‌کنند: مشخص‌کردن شیء و ریخت‌های همگانی (تصویرها یا شمول‌ها) به‌گونه‌ای که هر خانوادهٔ ریختِ سازگار، از یک ریختِ یکتا بگذرد. ضرب، حدِ خانواده است و هم‌ضرب، هم‌حدِ آن؛ و در رده‌های آبلی، برای خانواده‌های متناهی، این دو در «جمع مستقیم» به هم می‌رسند. همین زبان است که جبر همولوژیک بر پایهٔ آن بنا می‌شود.