ریاضیات

ویژگی‌های اساسی در رده‌های جمعی و آبلی

۱. هسته و هم‌هسته

برای هر ریخت α : A → B در یک ردهٔ آبلی (مانند ردهٔ گروه‌های آبلی یا مدول‌ها)، هسته و هم‌هسته به صورت زیر مشخص می‌شوند:

هستهٔ ریخت α برابر است با:

Ker α = { x ∈ A | α(x) = ۰ }

هم‌هستهٔ ریخت α برابر با خارج‌قسمتِ هم‌دامنه بر تصویر نگاشت است:

Coker α = B / Im α

همچنین برای عضو a ∈ A داریم:

(-α)(a) = - α(a)

۲. خاصیت دوجمعی بودن ترکیب ریخت‌ها

مجموعهٔ ریخت‌های میان هر دو شیء، یک گروه آبلی است:

Mor(A , B) یک گروه آبلی است

ترکیب ریخت‌ها نسبت به این ساختار جمعی خاصیت توزیع‌پذیری (دوجمعی) دارد:

الف) توزیع‌پذیری از راست: برای هر α₁ , α₂ ∈ Mor(A , B) و هر β ∈ Mor(C , A) داریم:

(α₁ + α₂) ∘ β = α₁ ∘ β + α₂ ∘ β

ب) توزیع‌پذیری از چپ: برای هر β₁ , β₂ ∈ Mor(A , B) و هر α ∈ Mor(B , C) داریم:

α ∘ (β₁ + β₂) = α ∘ β₁ + α ∘ β₂

۳. ضرب و هم‌ضرب خانواده‌ای از اشیاء

برای هر خانواده از اشیاء {Aᵢ} که در آن i ∈ I است:

الف) ضرب (Product): دارای شیء حاصل‌ضرب ∏ Aᵢ همراه با نگاشت‌های تصویرِ متعارف (پروژکشن) است:

pⱼ : ∏ Aᵢ → Aⱼ

(aᵢ)ᵢ∈I ↦ aⱼ

ب) هم‌ضرب (Coproduct / جمع مستقیم): دارای شیء هم‌ضرب ⨁ Aᵢ همراه با نگاشت‌های شمولِ طبیعی (اینجکشن) است:

iⱼ : Aⱼ → ⨁ Aᵢ