ریاضیات

این صفحه، گذار از مثال‌های رده‌ها به **رده‌های پیش‌افزایشی، افزایشی و آبلی** است. تصویر کمی تار است، اما ساختارِ اصلیِ یادداشت روشن است:

- در بخش نخست، شرطِ جمع‌پذیریِ ترکیب ریخت‌ها آمده است؛ یعنی مجموعهٔ ریخت‌های میان هر دو شیء، گروه آبلی است و ترکیب نسبت به جمع، دوطرفه توزیع‌پذیر است.

- در بخش دوم، آغازِ تعریفِ **ردهٔ آبلی** دیده می‌شود: رده‌ای افزایشی که در آن کرنل‌ها و کوکرنل‌ها وجود دارند و تصویر و هم‌تصویر به‌هم مربوط‌اند.

نکتهٔ دقیق: شرطِ «گروه آبلی بودنِ Homها و دوجمعی بودنِ ترکیب» به‌تنهایی تعریفِ **ردهٔ پیش‌افزایشی** است. برای «ردهٔ افزایشی»، وجود جمع‌های مستقیم متناهی نیز لازم است. سپس ردهٔ آبلی شرایط کامل‌تری دارد.

```html

رده‌های پیش‌افزایشی، افزایشی و آبلی

۱. ردهٔ پیش‌افزایشی

ردهٔ A را پیش‌افزایشی می‌نامیم، هرگاه برای هر دو شیء X و Y از A، مجموعهٔ ریخت‌های Hom<sub>A</sub>(X,Y) یک گروه آبلی باشد.

افزون بر این، ترکیب ریخت‌ها باید نسبت به جمع در هر دو متغیر توزیع‌پذیر باشد. یعنی اگر:

α : Y → Z

β ، β₁ ، β₂ : X → Y

باشند، آنگاه:

α ∘ (β₁ + β₂) = α ∘ β₁ + α ∘ β₂

و اگر:

α ، α₁ ، α₂ : Y → Z

β : X → Y

باشند، داریم:

(α₁ + α₂) ∘ β = α₁ ∘ β + α₂ ∘ β

پس ترکیب ریخت‌ها با ساختار جمعیِ مجموعه‌های Hom سازگار است.

۲. ردهٔ افزایشی

ردهٔ A را افزایشی می‌نامیم، هرگاه پیش‌افزایشی باشد و برای هر دو شیء X و Y، جمع مستقیم آن‌ها در رده وجود داشته باشد.

X ⊕ Y

وجود شیء صفر نیز در یک ردهٔ افزایشی ضروری است. شیء صفر شیئی مانند ۰ است که هم ابتدایی و هم انتهایی باشد.

۳. ردهٔ آبلی

ردهٔ A را آبلی می‌نامیم، هرگاه A یک ردهٔ افزایشی باشد و شرایط زیر را داشته باشد:

۱. هر ریخت در A دارای کرنل و کوکرنل باشد.

۲. هر تک‌ریخت، کرنلِ کوکرنلِ خود باشد.

۳. هر پوش‌ریخت، کوکرنلِ کرنلِ خود باشد.

به بیان دیگر، اگر:

f : M → N

یک ریخت باشد، آنگاه کرنل و کوکرنل آن وجود دارند:

ker(f)

coker(f)

همچنین تصویر و هم‌تصویرِ f تعریف می‌شوند و در یک ردهٔ آبلی به طور طبیعی هم‌ریخت‌اند:

Im(f) ≅ Coim(f)

```

### نکتهٔ مفهومی

در ردهٔ گروه‌های آبلی `Ab` و نیز در ردهٔ مدول‌های راست روی حلقهٔ یکادار `Mod-R`، همهٔ این شرایط برقرارند؛ ازاین‌رو این‌ها مثال‌های بنیادینِ **ردهٔ آبلی** هستند.

در چنین رده‌ای، مفاهیمی چون کرنل، کوکرنل، دنبالهٔ دقیق، همولوژی و کوهمولوژی معنای رده‌ایِ منسجم می‌یابند؛ و از همین جا راه به جبر همولوژیک گشوده می‌شود.